从不等关系的数学化到数学地审视不等关系

何继刚

【设计理念】

苏教版必修5第三章《不等式》的章头语是数学家陈省身的语录：“我们欣赏数学，我们需要数学。”这寓意深长的话语，非常恰当地描述了“不等关系”这一课的教学定位：“我们欣赏不等关系，我们更需要不等关系。”

本节课是本章的起始课，也是学习本章的基础。通过学习“不等关系”有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性，通过感受具体情境中的不等关系，可以激发学生产生用数学研究不等关系的强烈愿望，并且为进一步学习后面的内容奠定良好的基础。

不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系，是数学研究的重要内容。建立不等观念，处理不等关系与处理等量问题同样地重要。

按照为学生学习而设计教学的理念，“不等关系”要以“学的组织方式”为中心来进行教学设计，我觉得在“不等关系”教学设计时要考虑三条线索。

第一条是“不等关系”的思想、观念、方法与知识线索。根据现代认知心理学，本课我们要学习如下三类数学知识。第一类是陈述性知识：什么是不等关系、不等式模型；第二类是程序性知识：如何寻找不等关系，处理不等关系的流程（设、列、解、验、答）；第三类是策略性知识：这隐含在整个不等关系知识的学习过程之中，是一些认知策略和对不等关系思维过程的自我反思以及数学思想方法的应用策略等，如对数学建模思想（一元一次不等式模型、一元二次不等式模型、不等式组模型等）的应用。

本课“不等关系”教学设计的本质，就是要在数学的自然形态和数学的学术形态两极的中间，构建一种既反映数学本质又适合学生学习数学的教育形式。

第二条是学生对不等关系的认知线索。因为学习的主体是学生，我们要关注学生的最近发展区：初中（八年级）已学习了简单的不等式知识，已经知晓“大于”“小于”等符号的用法和意义，已经能比较两数的大小，并能用数学语言进行表达。在相关知识的学习过程中，学生已经有了将生活中的数学现象抽象为数学问题或数学模型形式的体验，获得并积累了一定的解决实际问题的数学经验，已具有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力，同时在以前的学习中学生已经有了很多合作的过程，具备了一定的活动经验和合作交流能力，这些都为本章的学习奠定了基础。

第三条是教师的教学组织线索。教学过程要通过教师的组织来实现。关于教学组织，要关注三个方面。

第一个方面是知识的整体性。只有把“不等关系”放到整个高中课程的知识脉络里，才能更好地认清各类不等关系和应用不等关系的本质，才能清楚我们应该如何帮助学生去理解“不等关系”的本质。

第二个方面是学生的主体性。强调学生的主体性，在教学设计中就要把学生认知的发展放在心里，要做到这一点，一定要通过课前诊断，了解学生对“不等关系”的认识达到了什么程度，哪些地方他们已经掌握，还有哪些地方还存在困难，只有在此基础上，我们才能有针对性地通过创设情境，提出问题，激活学生已有的“不等关系”的知识和经验，营造一个有利于新知识建构和问题解决的学习环境，引导学生深度参与探究“不等关系”的过程，提高学生构建“不等关系”数学模型的能力。

第三个方面是教师的主体性。新课程的理念是倡导学生积极主动地探索知识的发生、发展过程，教师应该尽力做好学生探究活动的引路人。本节课，作为教师要完成好如下基本任务：把学生从充满“不等关系”的现实世界带到充满理性思维的数学世界，并让学生获得“数学地思考”不等关系（不等关系的教学价值之一）的体验。

【教学流程】

第一步，导与学——预习引导，独立初学。

第二步，展与评——互动交流，点拨概括。

第三步，练与思——应用拓展，回顾小结。

第四步，做与诊——巩固练习，诊断反馈。

【教学目标】

1.通过具体情景，感受和欣赏在数学世界、日常生活、生产实践、科学实验中存在的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。

2.经历由实际问题建立不等关系模型的过程，体会并渗透集合思想、分类思想、数形结合思想、代数思想和方法；通过“导与学”“展与评”“练与思”“做与诊”四个步骤，达成强化“数学地思考”不等关系的教学目的。

3.通过解决具体问题，掌握数学建模的流程、方法。体会不等关系的数学模型在生活和科学发展中的重要地位和作用，培养发现和应用不等关系的意识和严谨的思维习惯，为后续教学奠定基础。

【教学过程及设计意图】

1.导与学。

【“导与学”是第一阶段教与学的互动。本课教学设计从课前“导”开始。“导与学”是通过问题情境、问题串联引导预习，促进独立初学，进而诱发“困惑点”，实现教与学的互动，促进学生对数学知识的自主建构和主动生成。】

问题情境1：回答下面的问题，并谈谈你对数学家陈省身语录“我们欣赏数学，我们需要数学”的理解。

（1）什么叫不等关系？

（2）你能列举出一些不等关系吗？

生活中：

数学中：

科学实验中：

【以上问题是预习部分，目的是引导学生从身边的数量关系和数学文化的层面，切入并感悟“不等关系”这一主题，实现与生活、课本、同学、教师的互动，为课前自主学习与课上生生合作、师生合作作准备。】

问题情境2：完成下列填空，并归纳出将不等关系数学化的基本步骤。

（1）我国《道路交通安全法》第91条明文规定：血液酒精c含量超过20mg/ml但不足80mg/ml的为酒驾，达到或超过80mg/ml的为醉驾。

不等关系词：

数学表达式：

（2）某品牌乳饮料的质量检查规定，乳饮料中脂肪的含量m应不少于2.5%，蛋白质的含量n应不少于2.3%。

不等关系词：

数学表达式：

（3）设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则d不大于AB。

不等关系词：

数学表达式：

【以上问题是课前预习题，其目的是，培养学生用数学的观点看问题的意识，学会数学地思考问题的方法，为学习不等式建模方法作准备。】

问题情境3：下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示，图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），试判断x1，x2，x3的大小关系。

【通过上例引发学生数学地思考生活中的不等关系，学会利用不等式模型评估交通的车流量问题。】

问题情境4：（根据苏教版必修5中问题改编）某博物馆的门票每位10元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠。若你替一个团队去购买门票，应该选择怎样的购票策略？

【设置以上开放性问题，是预设的“导学点”，其目的是引发学生对“相等关系”与“不等关系”认知上的冲突，激起学生强烈的求知欲，打开学生对不等问题的兴趣，激活学生自主学习的动机。

课前诊断是“独立初学”与课堂教学之间的重要环节，通过观察预习的过程、与学生对话、检查导学案等途径，促进学生对“独立初学”进行自我诊断与教师课前诊断，由此发现学生学习本课内容的“困惑点”，形成有效反馈，这是上好这节课的前提。】

2.展与评。

【“展与评”是第二阶段教与学的互动。展示环节是展示学生自主学习的成果、学生与课本对话的成果、合作学习的成果，更重要的是引发课堂对话、互动探究，外显难点、疑点，呈现数学思维的“探究点”。

“展”与“评”是交织在一起的两个环节，“展”中有“评”，“评”中有“展”，展示环节首先对预习成果进行了展与评，在此基础上继续展评，应用新知识解决例题的成果。】

展示活动一。展示“问题情境1”引导下的自学成果，由学生讲述对上述问题的理解，通过揭示丰富的生活意义、实践意义、几何意义、代数意义来列举并欣赏不等关系，引导学生深入到已学过的数学模块中去找不等关系，到不同的学科领域中去找不等关系，来深化我们的教与学。

如：某路段限速40km/h，司机在该路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式是：

数学中的不等关系：“三角形的两边之和大于第三边”“函数单调性的定义中的不等关系”“若为锐角（单位为弧度）由单位圆及三角函数线可比较出α，sinα，tanα的大小关系”等。

展示活动二。由学生讲述对上面“问题情境2”中问题的理解，引领学生进行归纳推理，获得与不等关系对应的数学模型（数学本质），用数学语言揭示出不等关系的心理操作流程（思维结构）：

展示活动三。分析1：由“情境问题3”中图形知：x1=50+x3-55，x2=x1-20+30，x3=x2-35+30，由此得：x2=x3+5，x1=x3-5，故x1

分析2：设由路段CA进入路段AB的车辆数为a则有x1=50+a，x2=（50+a）-20+30=60+a，x3=55+a，∴x2>x3>x1。

展示活动四。预设可能有学生给出如下解答：

思路1：设购票人数为x人，购票费用y元，则y=10x（1

围绕以上求解，请学生进行评价。若没有人找到“局限性”，可作如下提示：是不是人数少于20都要买普通票呢？针对这一问题，让学生分组讨论，然后各组派一人发言。预设有如下思路：

思路2：20人团体票是10×0.8×20=160元，=16，所以不少于16人时买团体票，少于16人时买普通票划算。

首先肯定其正确性，再用代数思想分析这种算术解法的局限性，引导学生给出如下思路：

思路3：设购票人数为x人，则当10x>20×10×0.8时，买团体票划算，所以x>16。

答：超过16人x>16时买团体票划算；少于16人x<16时买普通票划算；x=16时花费一样。

事实上，将“思路1”改进一下，可用分段函数表示如下：

10x（1≤x<16）160（16≤x<20）8x（x≥20）

展示活动五（应用）。例1：某商品进价每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每周要少卖出10件。要想获得不少于6000元的利润，该商品的价格应定在怎样的范围内？（列式不求解）

【（1）引导学生按处理不等关系的操作流程，从问题中进价、售价、成本、利润、销售额等概念中，理清各量之间的关系；学习利用不等关系建立一元二次不等式模型解决实际问题的技能，提高解决实际问题的能力。（2）改变变量设法来解决此问题，培养学生应用数学建模解决实际问题的灵活性。】

针对本题，可采用如下教学方法：学生分组讨论，各组展示。预设变量有两种设法。

思路1：设每件涨价x元，要想获得不少于6000元的利润，则（60+x-40）（300-10x）≥6000

此处忽视两点，其一，忽视x∈N（涨价是以元为单位的）；其二，忽视实际意义，即忽视x∈[60，90）且x∈N，此处确定定义域也隐含一个不等关系，这也是一个教学难点。因此在处理函数或不等关系问题时，一定要关注定义域问题。

思路2：设每件定价为x元，x∈[60，90）且x∈N，要想获得不少于6000元的利润，须有（x-40）[300-10（x-60）]≥6000

展示活动六（展示应用）。例2（根据苏教版必修5中问题改编）：下表给出了三种食物X，Y，Z的维生素含量及成本。

某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食物中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，设X，Y这两种食物各取xkg，ykg，那么x，y应满足怎样的关系？（列式不求解）

【引导学生理解和掌握建模思想，将问题中的不等关系数学化为二元一次不等式组，提高学生应用不等式模型数学地思考实际问题的能力。】

由题意，X，Y两种食物各取xkg，ykg，所以食物Z应取（100-x-y）kg，

则有300x+500y+（100-x-y）300≥35000700x+100y+（100-x-y）300≥40000100-x-y≥0x≥0y≥0

此题，有学生设三种食物各xkg、ykg、zkg，没有注意到相等关系z=100-x-y。教师继续通过学生“独立思考—组内合作—集中展示”，捕捉“内化点”，再次进行点拨、概括、内化。

3.练与思。

【“练与思”是第三步教与学的互动。本环节是通过练习与反思来巩固、加深对数学建模思想的理解，实现建模和方法的有效迁移，因此设置如下巩固练习。】

（1）练习与巩固。

①在图中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD、BD。试利用这个图形，比较与的大小。

②某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种。按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？

（2）回顾与反思。

可激活如下“反思点”。

①画思维导图：

②智慧操作：

4.做与诊。

【“做与诊”是教与学的第四次互动。“做”要完成两项任务，其一，复习巩固性作业。其二，预习性作业。复习巩固性作业是为了学生再次自我诊断和教师对教学的再次反馈，预习性作业是为了下一课的导学。本课作业：必修5，P68，练习。

其目的是为下一课埋下伏笔，形成“课前—课堂—课后”一个完整的循环学习链，使学生的数学思维能力在教师指导下能够在自主学习中实现螺旋式上升。】

【教学反思】

1.“不等关系”的教学设计基于学生的预习。为深度感知教学资源，本课的教学有效性基于课前预习及其课前诊断，成功地引导学生从多个维度、不同领域寻找“不等关系”，是形成深度学习的前提，比如从生活中，从生产实践中，从科学实验中，从学过的数学中去寻找不等关系（像图形中的不等关系、函数的单调性、正余弦函数的有界性等）。要引导学生将教学与生活经验结合起来，将不等关系的学习与学习函数关系结合起来，使学生的学习成为有意义的学习。

2.“不等关系”的教学设计要引导学生产生螺旋式上升的认知。学生在初中学习不等式时，已学习了一些不等式知识，因此，我们的教学不能在此徘徊，而要在学生已经学过的基础上，在更高层面上让学生经历必要的认知过程，即让学生感受不等关系的情境，产生数学地刻画不等关系的认知倾向：形成问题，探究分析，进行数学建构的过程。还要引导学生进行比较学习，体会建立相等模型与建立不等模型之间的选择过程，通过两种方案的比较，形成深度教学的过程。

“不等关系”的教学应使学生对数量关系的认知结构更加完整和优化。不等关系的模型与函数关系结合起来，为我们认识世界、理解世界、数学地观察世界又增添了一个有力的工具。

3.是否落实“以学定教，教学相长”的理念，主要体现在两个方面。其一，落实各环节的诊断。其二，构建不等关系的过程，生成有效资源的质、量和利用率。不等关系的学习要能够让学生充分经历“类比”这一重要的合情推理过程，感受合情推理的探索与发现功能。

建模的思想是处理“不等关系”的重要思想，因此，不等式的学习过程是数学建模的学习过程，是使学生感受“模型化”思想与方法的最佳时机。在构建不等关系时，需要先引入字母表示相关的量，这样的过程又是渗透代数思想的过程。

4.已构建的“不等关系”模型是我们认识世界、改造世界的重要工具。“不等关系”的模型，为我们深度研究、深度学习提供了不竭的动力。

（作者单位：江苏省扬州大学附属中学）