在数学教学中培养学生的思维能力

常瑞丰

【关键词】思维功能 思维能力 培养策略

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2013）07B-0049-02

传统教育的弊端，在于培养了大量不会思维的学生，这一问题正逐渐引起人们的重视。数学是一门语言精练，抽象性、逻辑性极强的学科，数学的特性，决定了数学是培养学生思维严谨性、抽象性的最好途径。因此，笔者认为必须充分发挥数学对培养学生思维能力的作用。

一、数学的思维功能

数学的思维功能由数学的特征所决定，它主要表现在以下几个方面：

1.数学具有培养高度抽象思维的功能

与其他学科相比，数学具有更高层次的抽象性，它的抽象性仅保留量的关系和空间形式，而去掉了其他一切如物理属性、化学属性或生物属性等，并且这种关系和形式完全符号化和形式化了。如数学模型与模式的区别：

金属热胀冷缩时，金属棒的长度变化（Δl）与温度变化（Δt）成正比。通过实际测定，某铁棒在t1=0℃时，棒长l1=10.00米，在t2=10℃时，棒长为l2=10.05米，则相应的数学模型为：

=，即l=10+0.005t

从而可得铁棒在t=50℃时相应的长度l=10+0.005×50=10.25（米）。

以上例子是把现实原型抽象成更为一般的一次函数y=kx+b（k≠0，b为常数），即由特定事物的“模型”过渡到纯粹的量化“模式”。

由此可见，数学是培养人们善于抽象与概括，善于分析与综合等优良思维品质的重要手段。

2.数学具有培养逻辑严谨性的功能

数学科学的真理性使数学必须具备高度的严谨性，来保证数学运算、证明、推理、理论体系等的真值传递；同时，现代数学的形式公理化，使数学对严谨性的追求，不仅仅表现在对数学符号语言、数学形式化的追求，还在于对逻辑严密性的追求。正因为如此，数学上经过严格证明了的结论总是正确的和无可争辩的。由此可见，数学是培养人们思维条理性、严密性、科学性的重要工具。

例如，证明：若m，n1，n2∈R，且m=n1+n2+1，则方程х2+х+n1=0与х2+mx+n2=0中至少有一个方程有两个不同的实数根。

其中P：m=n1+n2+1；

Q：x2+x+n1=0有两个不同的实数根；

R：x2+mx+n2=0有两个不同的实数根。

于是可证明如下：

假设方程x2+x+n1=0没有两个不同实根（即），则△=1-4n1≤0?n1≥。为证方程x2+mx+n2=0有两个不同实根（即R），只需证m2-4n2>0。

事实上，m2-4n2=（n1+n2+1）2-4n2=n22+2（n1-1）n2+（1+n1）2（这里使用了条件P），上式是n2的二次三项式，其△=4（n1-1）2-4（1+n1）2=-16n1<0，即有m2-4n2>0成立，故结论为真。

3.数学具有培养辩证思维的功能

数学中存在着许多对立统一的关系。数学的辩证性特征决定了数学思维方法具有培养人们辩证思维能力的功能。在数学中，辩证法的三条基本规律得到了合理的、逻辑的解释和证明。

其中，极限方法是辩证法运用于数学的典型例证，下面我们通过求导数进行分析。求导数时，第一步，在x0的附近求出函数f（x）的平均变化率（导数的近似值）；第二步，让x0的区间向x0收缩；第三步，在有限收缩的基础上经历一个无限收缩过程，实现了由量变到质变的飞跃，从而得到函数在x0的导数y′=[][Δx→0]。

由此可见，求函数导数的过程是否定之否定的过程，是量变与质变的过程，是有限与无限矛盾转化的过程。

二、数学教学中对学生思维能力的培养

数学知识是数学思维活动升华的结果，数学教学活动就是数学思维活动的过程。因此，通过数学教学培养学生的思维能力显得尤为重要，在数学教学中要特别注意以下问题：

1.以问题解决为核心进行思维能力的培养

数学因问题而生，数学的目的则是解决问题。由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地抽出问题、分析问题和解决问题。学生思维能力的发展，最令人信服的指标就是问题解决能力的提高，所以数学课对学生思维能力的培养，不但要通过解决问题来实现，而且最终以问题的解决为目的。这是数学同其他学科相比，在思维能力培养方面一个最为明显的特征。按照波利亚解题理论，解题过程可分成四个步骤：弄清问题，制订计划，实行计划，回顾。

例如，已知{an}是等差数列，a4+a6=6，其前5项和S5=10，则其公差是多少？

（1）弄清问题

问题：要求的是什么？——d

问题：已知些什么？——a4+a6=6，S5=10

（2）制订计划

an=am+（n-m）dd=。

问题：怎样才能确定an，am？

说明：由S5===10可得a3=2。

问题：a4+a6=6与a3有何关系呢？

说明：由a4+a6=6得（a3+d）+（a3+3d）=6则可得d。

（3）实行计划

由S5===10可得a3=2。

由a4+a6=6得（a3+d）+（a3+3d）=6

因此，d=。

（4）回顾

“你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这一结果或方法应用于其他问题？”

从这个例子可以看出，解题过程就是把问题转化为已熟悉的问题或知识，借助已有的知识和经验，使问题获得解决。数学课并非专门、孤立地解决数学问题，而应以解决问题为途径，把审题、明确思路、解题、反思这四个方面的思维能力渗透到数学教学的整个过程中，以提高这四种能力为基础，提高学生的问题解决能力和数学思维能力。

2.重视对学生非逻辑思维能力的培养

目前，高中数学教学比较重视学生运算能力、定向思维能力及逻辑思维能力的培养，而对学生非逻辑思维能力的培养则较为缺乏。所谓逻辑思维方法就是在逻辑规则的控制下，从一定的前提出发，找出与之有联系的依据，循序渐进，连续推导的线性思维方法。正因如此，逻辑思维往往难以获得突破性的创新。与此相反，想象、直觉与顿悟等非逻辑思维，不受逻辑规则条条框框的限制，它们相互交叉，思路灵活，容易转移，形成一种放射式的非线性思维方式。它能直接地获得突破性的创新。因此，在数学教学中要重视对学生非逻辑思维能力的培养。

在日常的数学教学中，首先，教师要注意积累发散性的问题，通过创设问题情境，促进智力探索，形成创造性数学思维；其次，要有意识地进行讨论式、探究式等课堂教学改革的尝试，启发学生积极思维、主动探索数学真理，激发学生思维的活力。

在学科教学中，教师和学生往往容易把注意力放在知识的积累上而忽视了思维能力的培养和发展。随着我国课程改革的全面展开，教师应肩负起培养学生的思维能力的重任，把思维能力的培养与具体的学科教学有机结合起来，使学生成为有思想的人。

（责编 林 剑）