等差数列与公差的巧用

张贵峰

【摘 要】对于某些数学问题，可从问题的结构特征入手，充分挖掘问题的数列背景，通过等差数列的公差改变问题的原有结构，找到解决问题的途径。

【关键词】等差数列；公差；a+c=2b

对于某些数学问题，表面上看似乎与数列毫不相关，但仔细观察，认真分析就可以发现，问题含着等差数列的因素，这时可从问题的结构特征入手，充分挖掘问题的数列背景，通过等差数列的公差改变问题的原有结构，找到解决问题的途径。

因为a，b，c成等差数列的充要条件是a+c=2b，所以在解题时，若能发现“a+c=2b”的模型就相当于找到了解题的途径，若能够构造出“a+c=2b”的模型，则相当于在“问题”和等差数列之间架设了一座“桥梁”为等差数列公差d的应用开辟了新天地，使“问题”得到解决。

一、用公差解无理方程

例1、解方程

解：此方程X的允许值范围为[1，3]，在此范围内，由a+c=2b，可知，，成等差数列，设公差为d，则，，

将两式平方后相加，得，即，∴。

由代入，得，即；

由代入，得，∴。

∵，∴为所求二根。

二、用公差解无理方程组

例2、求方程组的实数解。

解：由方程（1）知，成等差数列，令

则

将x，y-1代入（2）得，并由此求得

若，则x=4，y=10；若，则x=9，y=5.∴方程组的解为或

三、用公差研究不定方程

例3、设实数x、y，z满足求x的取值范围。

解：由（1）得，

由（2）得

∴ 成等差数列，

令代入（1）得

即解得∴x的取值范围是[1，9]。

四、用公差研究最大（小）值的问题

例4、确定最大的实数z，使得并且x，y也是实数。

解：∵∴成等差数列

令则由

得整理，得解得又当时，时，∴最大的实数

五、公差在复数方程中的应用

例5、已知，求的值

分析：本题可经过猜想归纳求得结果，但是从“两数之和是第三个数的二倍”中隐含着三个数成等差数列这一因素，进而构造出相应的等差数列，使之解答十分自然。

解：依题意，三数x，cos，成等差数列，所以，可设两式相乘得，

六、公差在三角中的应用

例6、已知，求的值。

解：由题设知成等差数列。设则由，得，解得或

另一方面

把d=或代入上式，得=-1，或7。

【参考文献】

[1]王翠霞.中国校外教育，2008，（12）.