在数学教学中“尝试错误”

沈耀新

一、“尝试错误”是取得成功的渐进过程

“尝试——错误”是美国心理学家桑代克在19世纪末20世纪初根据大量动物实验得出的问题解决理论。桑代克认为，动物学习的过程是一个不断尝试、不断错误，最后获得成功的渐进过程，问题解决是一定的情景和一定的行为在多次联结中最终达到一定目的或效果的学习行为。人的学习与动物的学习在本质上是一样的，只是复杂程度不同。由于学生的尝试是没有指导的尝试，大部分学生都无法在第一次尝试中就获得成功，因此，学生的学习过程必然是一个“尝试→错误→再尝试→再错误”并最终以经历“大量错误及尝试”后才取得成功的渐进过程。

其实，失败也是一种学习。失败并不如人们想象的那样可怕，它让人们承认自己不够完美，如果人们彼此公开地分享失败的经验，那么“失败”将成为他们相互学习的最好材料。在硅谷，“午餐时间”是精英们经常用来交流，并从别人失败的例子中获取真知的良好时机，因为聪明能干的人们知道：如果只是赢得侥幸，那么我们其实没有真正的收获。

二、要敢于面对尝试中的错误

“尝试教学”改变了传统教学的消极影响，使学生的思维从保守、被动的状态中解救出来，为培养学生的思维品质创设了条件。 然而正是因为“尝试”，学生在学习中必然会有错误的体验。

（七年级（上）《有理数的乘方》）中有这样三个实例：

（1）某个细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，经过5个小时，这种细胞由1个分裂成多少个？

（2）一张厚度为0.1mm的纸，将它对折1次后，厚度为2×0.1mm，对折2次后，厚度为多少mm？对折20次后厚度为多少mm？

（3）《棋盘上的学问》

这三个内容的计算，由于出现的数字很大，对学生来说是极易出错的。在完成第（1）题时，学生能进行想象，并作出相应的计算。而对于第（2）个问题，学生却很难相象了，所以经常出错。因为我们很少有让学生能对折20次甚至更多次的纸张，而且学生对于纸张厚度的概念是总是“很薄”。到了第（3）题，那就真的不可思意。这种错误的出现，有时会让很多学生见了可怕，甚至受到打击。

这时就要求我们老师能以宽大的胸怀去面对学生的错误。同时也要让学生知道新知识的学习中允许错误存在。只要正确面对错误，我们就可以解决问题。当然，这个错误有时也会给予某些学生带来兴趣，让他们感受到新知识所带来的挑战。

三、要有意识地设置错误尝试

1、创设尝试情境

我常将学生在学习过程中常出现的错误进行展示与评价。这样在教学时就能让学生从错误中吸取经验，从而有效地控制错误的发生，提高学生学习效率。

例如，解方程+=1 时，很多学生常出现在去分母时右边的1漏乘了公分母6这一错误。以此开展“找错误”的游戏可以让学生对这一“错误印象”有更深了解，从而做到防患未然。也就是说，“学生的错误”能成为教师教学反思的最基本素材。

2、指导尝试活动

在教学中，应合理引导进行有目的的尝试，通过学生的尝试活动，学会探求知识的方法，同时，鼓励学生在探求过程中敢于发表自己的见解，勇于争辩，使学生从中学会鉴别，驳谬，培养学生思维的批判性。

教学实例：（九年级（上）《根与系数的关系》）

设方程x2-2（m+2）x+2m2-1=0的两根是x1，x2，且满足x12=x22，求m的值。

这个问题是韦达定理的应用，当x12=x22时，很多同学直接把该条件看作x1=x2，这显然是不正确的。

也有同学，将该式移项成为x12-x22=0，这时，粗心的学生却以为x12+x22=0，而错解。

经过判别，只有将x12-x22，=0化成（x1+x2）（x1-x2）=0时，将条件变成x1+x2=0或 x1-x2 =0时，m的值可求。

其实，让学生通过自学与思考，去猜一猜，再找找其中的规律，最后再算一算，我们学生就能把好奇心转化成求知欲，逐步培养自主学习，自我思考的习惯，这样就能在多个尝试中不断突破。

3、进行尝试练习

在尝试练习中，应用反馈原理，使学生了解自己所学到的新知识，并强化对新知识的理解掌握。学生通过自学课本，掌握了解答尝试题的方法，几个同学板演，其他同学在练习本上做，教师检查学生对新知识的掌握情况，使学生感到自学新知识并不困难，这样就可以加快教学速度。尝试题可以是一组连续性的思考题。

对七年级（下）《轴对称图形》），我设计了如下几道尝试题：

已知直线MN和MN同旁的两点A和B

（1）求作A点关于MN的对称点A′？

（2）A′B与MN交于点X，问AX+BX=A′B？为什么？

（3）同样作B点关于MN的对称点B′，连AB′与MN交于点X′，AX′+BX′= AB′？

（4）点X与X′是否一定重合？为什么？

（5）A′B与AB′是否是A点和B点与X间的最短距离之和？

（6）要在MN上求一点，使它到点A和点B的距离为最短，怎样作图？

按照这些问题为线索，引导自学课本，组织学生讨论，进行尝试练习。学生就不会因为新知识的出现而困惑，取而代之的是对新知识的追求与把握。

4、质疑尝试障碍

可以采用小组讨论的方式让学生互相汇报尝试自学的结果，同时提出疑难问题互相解决。教师不能轻易的对问题进行灌输式讲解，教师只讲学生经过探索解决不了的问题，以排除思维障碍。教师要鼓励学生大胆提出问题和自己解决问题，同时教师要为学生提供继续学习的心理支持，要让学生感受到教师就在“你的身边”，可以随时对你的学习提供帮助。

例如：在将“2008000”保留4个有效数字，多数答为“2008”，如让学生把这一错误当作“贪污”笑料，就能在学生的笑声中达到教育目的。

错误对于学生来说也是不可或缺的，是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的暂时性结果。事实上，错误是正确的先导，成功的开始。有道是失败是成功之母，学生所犯错误及其对错误的认识，是学生获得和巩固知识的重要途径。

四、要将错误尝试成为成功的密诀

（一）教师要适当放弃已有的习惯思维

某老师用《乌鸦喝水的故事》来教授体积的变化，为了引出物体投入水中能引起水位升高这一原理，组织学生讨论：“乌鸦为什么喝不着瓶子里的水？”经过讨论，绝大部分学生都认为原因有两个：一是瓶子的口太小，乌鸦的嘴伸不进去；二是瓶子里的水太浅，乌鸦的嘴够不着。但有一位学生有不同的意见：“是因为乌鸦的嘴太大了，伸不进瓶子。”教师一愣，随之付之一笑：“坐下，再仔细想想。”学生满脸不解地坐下。因为学生的回答和老师期望得到的答案不一样。

其实上例中的教师在他的思维程序中早已经准备好一份标准答案，但却被学生多维立体的发散思维打破了，教师以乌鸦作为参照物，确定瓶口太小，瓶内的水太浅了；而学生以瓶子作为参照物，认为是乌鸦的嘴太大了。同一答案的两种不同表达方式，让学生选择了后者，冲破教师设置的思维围墙，充满自信又“固执己见”，这与教师对问题的理解形成强烈反差。这是因为，教师是成年人，经验丰富，理解依靠理智的思考；而学生往往富于幻想，思维更具情感性、发散性和灵活性。

心理学家曾指出：“我们期望学生犯错误，因为从错误中吸取教训，便可争取明天的成功。”让错误成为数学课堂教学的一个亮点。

（二）要鼓励学生自我进行的反思

一位同学在“纠错本”上记录了如下信息（表一）：

我们可以从学生的自我分析发现，学生在对待错误中是主动的，能自我发现错误、改正错误。这对于教育目的来说它就是我们想达到的预期效果，教是为了不教。在这样的一个过程中学生的心理活动是奋发向上的，自我完善的。

学生在学习中出现的错误未尝不是一种收获，它有积极的一面。它为我们学习提供了方向，为教学反思作了铺垫。值得我们另眼相看。

错误不过是学生在数学学习过程中所做的某种尝试，它只能反映学生在数学学习的某个阶段的水平，而不能代表其最终的实际水平。此外，正是由于这些假设的不断提出与修正，才使学生的能力不断提高。因此，揭示错误也是为了尽量减少错误。

（三）开展多角度多方面尝试探索

通过尝试→错误→修正→逼近问题→问题解决，便于我们今后开展尝试教学：

1、把课本中的基础知识设计成有待于解决的好问题，易于学生尝试与改善。

2、应该对现有习题的形式作些改革，适当补充一些应用题，配备一些非常规题、开放题和合作讨论题。把习题改为“问题解决”的尝试形式。

3、根据《课标》增加与实际问题相适应的数学内容。让这些内容有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流。

4、将问题适当“开放”。让问题应具有一定的现实意义，让学发挥自己的创新能力与创造力。

“尝试与错误”是我们教学过程中都会存在且互相牵制的两个基本方面。尽管我们的教学是要教会学生学习，让他们不犯错误或少犯错误，但如果能大胆尝试错误，并从错误中学习，那么我们的教学更会充满生机。

【作者单位：昆山市玉峰实验学校 江苏】