让课本习题“开放”起来

羌锋建

[摘 要] 本文从“条件开放”“结论开放”“过程开放”三个角度举例说明了如何充分利用教材中的课后习题进行改编或开放探索，即教师应在平时的教学中进行“开放型”问题训练，从而提高学生解决本类问题的能力.

[关键词] “开放型”问题；课本习题；条件开放；结论开放；过程开放

近年来，开放探索型问题在中考试题中屡见不鲜. 所谓“开放型”问题，是相对于有明确条件和结论的传统封闭型问题而言的，它内容新颖、形式活泼，具有背景新、解法活、综合性强、无现成模式等特点. 在类型上，它可能条件不够完备，结论也不唯一确定，解题的过程具有探索性，重在考查学生的独立分析能力和探索能力，以及思维的创造发散性与完整条理性. 这类试题是在教学实践和考试改革中逐步发展起来的，要求学生在解题过程中把观察、试验、猜想、证明等活动有机地结合在一起，属于难度较大的问题. 实践也表明，学生在考试中此类试题的得分率不高. 这种综合解题的能力显然也不能通过考前的一些专题练习就起到立竿见影的效果，需要在平时的教学中就有意识地进行训练.

如何在不加重学生另外的负担前提下，解决开放试题的能力得到训练和提高呢？这就需要教师在备课和教材中动脑筋、做文章. 应该指出的是，一方面，现在的数学教材中这类开放试题在课后习题里偶有出现，但有时却没有得到师生足够的重视，并没有将它们真正“开放”起来；另一方面，这类问题毕竟还是太少，而且“开放”的程度并不够，经常有浅尝辄止之感. 所以，适当地将课本上的某些习题进行改造，让一些封闭题开放起来，长此以往，对学生综合解决开放试题能力的提高将大有裨益. 本文根据开放试题的常见类型，以江苏科学技术出版社（简称“苏科版”）《数学》七年级教材为例，说明如何让书本的习题开放起来的一些方法.

类型1：条件开放题

教材中的例、习题的条件一般都是结论的充分条件. 若把条件减弱，有时题目的解法和结论会有很大的变化，从而使题目具有开放性.

例1 （原题，《数学》七年级上册第110页第11题）甲、乙两站相距448 km，一列慢车从甲站出发，速度为60 km/h；一列快车从乙站出发，速度为100 km/h. 两车同时出发，相向而行，出发后多少时间两车相遇？

这是一道典型的行程问题中的相遇问题，学生解答时没有什么困难. 这时可以将题目中的条件减弱，改造成一道综合性“开放”题.

改编题 甲、乙两站相距448 km，一列慢车和一列快车同时从两站出发，速度为60 km/h和100 km/h. 出发后多少时间两车相距48 km？

这里仅告诉两车相距48 km，并没有说明两车相距的类型. 条件的减弱，可使思维的空间拓宽，思维的难度加大，结论不唯一，是典型的条件开放题. 事实上，经过改造，本题共有两种不同的情况，学生通过完成此题，对于行程问题会有更全面的认识和提高.

例2 （原题，《数学》七年级下册第116页第2题）如图1，若AB=DC，AC=DB，则△ABC与△DCB全等吗？为什么？

三角形全等的问题是平面几何中最基本的问题之一，在中考试题中一般不仅有独立的考点，而且有基本概念、图形定理渗透到综合题中，因此对三角形全等的判定和性质应有熟练的掌握. 如本题可将条件完全舍去，改造成一道似乎没有条件的“开放题”.

改编题 如图1，你能只增加两个条件，使△ABC与△DCB全等吗？你有多少种不同的增加方法？

在本题中，学生首先要看到BC是公共边这个条件，然后可以分别按照三角形全等的判定方法——“AAS”“ASA”“SAS”“SSS”等分类考虑有多少种不同的增加方法（所添加的条件既可以是直接的，也可以是间接使得这两个三角形全等）. 这样的一个问题就几乎包含了全部三角形全等判定的方法的运用.

另外，执果溯因是解题时常用的思维方法，也可用这种方法改编一些习题使之开放.

例3 （原题，《数学》七年级下册第76页练习）把m 2-9n 2分解因式.

改编题 请写出一个多项式，使之可以运用平方差公式进行因式分解，且有一个因式为m+3n.

类型2：结论开放题

传统的例、习题结论大都有明确的指向，但由题目的条件并非仅能推得唯一的结论，所以教师可把明确指向的结论改为探究结论的可能性，从而使题目具有开放性.

例5 （原题，《数学》七年级上册第133页第25题）图2和图3分别由6个小正方形组成，这两个图形中，能通过折叠围成一个正方体的是______（填“图2”或“图3”）.

这个问题渗透了转化的思想，因为学生经过折叠就能感受立体图形与平面图形之间的关系，知道有些立体图形可以按不同的方式展开成平面图形，而有些平面图形也可以折叠成立体图形.

改编题 请你为纸盒厂设计一些平面图形，使它们可以折叠成正方体. 你有多少种不同的设计方案？（经过旋转或翻折能够重合的只能算一种）

在这个问题的探索，讨论过程中，学生会对正方体在展开与折叠过程中的一些特性有更深入理解的同时，会让他们感受到原来数学内容离自己这么近，数学的学习可以这样开放，探索与合作交流的过程可以如此丰富. 而这正是新课标、新教材的目标所在，也是我们数学教学的真正目的所在.

例6 （原题，《数学》七年级上第58页第17题）桌子上有3只杯口朝上的茶杯，每次翻转2只，能否经过若干次翻转使它们翻成杯口全部朝下？如果用“+1”“-1”分别表示杯口的不同朝向，你能用有理数的运算说明其中的道理吗？

这是一道很好的“用数学”试题. 通过本题，学生可以加深对正负数性质的理解；同时，本题也可以用“奇偶分析”的方法进行探索、研究.

改编题 桌子上有4只杯口朝上的茶杯，每次翻转3只，能否经过若干次翻转使它们翻成杯口全部朝下？如果有5只杯子，每次翻转4只呢？如果有m只杯子，每次翻转n（n

这样的改编，有一定的层次和梯度，体现了从特殊到一般的数学思想；学生在对m和n取值的讨论中，不仅能充分达成原题的任务，而且对数学学习的思想方法有更进一步的认识和提高.

例7 （原题，《数学》七年级下册第31页第8题）如图4，小明从六边形草地ABCDEF的边AB上的一点S出发，沿着这个六边形的边步行一周，最后仍回到起点S处. 小明转过的角度是多少？

图中的虚线与各边的夹角实际上就是小明每次转过的角度，如果说这道题仅仅是计算出小明一共转了360°，那么就辜负了这样一道“好题”. 其实这道题的意图更在于让学生明白外角和的实际意义. 事实也是如此，更多的学生对于外角和的理解仅局限在360°这个数上.

改编题 如果将上题中的六边形改成七边形、八边形呢？n边形呢？

通过探索学生可以发现，不论边数怎样改变，这个角度并没有改变（为360°），究其本质，正是因为每次所转角度即为这个多边形的一个外角，回到出发处时也即是转了一圈（360°），转过的角度即为多边形的外角和360°. 这样，学生对外角和的理解就不再仅停留在一个具体的数上，正所谓，“知其然，更知其所以然”.

类型3：过程开放题

如果说题目的开放还仅仅是形式上的改变的话，那教师和学生还应在教学过程中从思想上进行开放，才能真正达到开放题的训练效果.

例8 （原题，《数学》七年级上册第174页第14题）

（1）若平面内有点A，B，C，过其中任意两点画直线，最少可以画几条直线？最多可以画几条直线？

（2）若平面内有点A，B，C，D，过其中任意两点画直线，最多可以画几条直线？

（3）若平面内有5个点呢？有n个点呢？

应该说这已经是一个很不错的开放题了，学生通过分析、归纳可发现其中的规律，从而得出一般性的结论. 在这样的问题探索过程中，学生的情绪是积极的，兴趣是浓厚的，但假如教师再“开放”一些，趁热打铁，也许还能有更大的收获.

改编题1 全班连同老师共42人，每两人之间握一次手，一共会握手多少次？

改编题2 在南京到上海的铁路线上，中途还有7个停靠站，那么，在往返南京和上海的火车上应准备多少种不同的车票？

学生能够主动地发现这些类型题的相似性，做出相同的推理，即“类比”方法的自觉应用，这是比得到问题的解更令人欣喜的事情. 可以这样说，学生会不会学习，能不能主动、有意识地进行同一系统、不同系统间的类比是一个很重要的指标，而这样的两个改编题则为培养学生的“类比”能力提供了很好的示例和机会. 改编还在继续.

改编题3 平面上有n个点（n≥3），且任意三个点不在同一条直线上，过任意三个点作三角形，一共能作出多少个不同的三角形？（说明：三角形的顶点必须是所给出的点）

一石激起千层浪. 改编题3可以看成是将原题的一个推广或者叫“一般化”，从已知对象的研究到包含已知对象的更大一类对象的研究——通常所谓的“举一反三”. 学生自己都可以进行改编了（以下两题为学生的改编题）.

改编题4 平面上有n个点（n≥4），且任意三个点不在同一条直线上，过任意四个点作四边形，一共能作出多少个不同的四边形？

改编题5 平面上有n个点（n≥5），且任意三个点不在同一条直线上，过任意五个点作五边形，一共能作出多少个不同的五边形？

……

学生若具有推广意识（这是提出问题的一种有效方式），就会主动地发现和提出问题，并且具有解决问题的强烈动机，因为问题是自己提出的，是自己感兴趣的，而不是外界强加的或逼迫的，所以学生能够积极主动地进行探究.

在此基础上，有人索性总结出一般性结论：

平面上有n个点（n≥m），且任意三个点不在同一条直线上，过任意m个点作m边形，一共能作出■个不同的m边形.

还有人提出这样的问题：用1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字，任选三个可以组成多少个不同的三位数？

课堂的“混乱”让老师“快乐”得根本不想去控制，而是不失时机地“趁乱添一把火”. 课堂真正的活跃是指学生思维活动的活跃，而不是指学生对那种没有思考性的问题答来答去的表面热闹. 而贯穿于课堂始终的是“问题”，所以，教师在教学中适当把握时机地给学生创设存在问题和发现问题的情境的话，能使学生的思维活跃起来，从而使他们生动活泼地、主动地探求和掌握知识.

对于开放试题类型的分类并没有也无需确定的标准，对于习题的改编或开放题的编制也没有固定的方法，教师可以根据学生的实际情况和教学内容灵活地进行选择. 总之，教师通过开放试题的设问，能为学生提供广阔的思维空间和探求知识的机会，同时激发学生浓厚的学习兴趣，任学生的思维纵横驰骋. 更由于这些开放试题似乎与课本习题息息相关，所以学生不会有距离或抵触感，加上教师适时的点拨、启发、鼓励，甚至和学生一起加入到探求知识的行列之中，从而使教师的主导作用真正得到发挥. 在这个过程中，学生由于摆脱了固定答案、单一思路的束缚，自主地动眼、动脑、动手、动口，积极地观察、分析、探索、思维，潜在智力会不断开发，良好的思维品质会不断得到培养，学生深层次的思维领域和情感领域会真正参与学习过程，主体作用也会得到充分体现. 长期的训练，能力自然能得到我们所期望的程度.