另辟蹊径寻找不等式表示的平面区域

朱西芳

线性规划在近几年的高考中备受青睐，而解决线性规划问题的基础是找出由线性（或非线性）约束条件确定的区域.教科书中给出了用特殊点寻找平面区域的方法，就是“直线定界，特殊点定域”，特殊点定域即利用“同则同域，异则异域”的思想.波利亚在《怎样解题》中指出：“解题中的成功有赖于选择正确的方面，有赖于从好接近的一侧攻击堡垒.为了找出哪个方面是正确的方面，哪一侧是好接近的一侧，我们从各个方面、各个侧边去试验.”笔者在教学实践中另辟蹊径，从另一侧找到了判断平面区域的方法.

引理1：对于二元一次不等式Ax+By+C>0，若B>0，则其不等式所表示的平面区域为直线Ax+By+C=0的上方.

证明：设点为直线Ax+By+C=0上任一点，过点M作平行于y轴的直线，在点M的上方任意取一点N（x，y），都有x=x■，y>y■.

∵Ax■+By■+C=0，By■=-Ax■-C=-Ax-C

又∵y0，

∴By■

∴-Ax-C

即Ax+By+C>0，

因为点M（x■，y■）为直线上任意点，所以对于直线Ax+By+C=0上方的任一点（x，y），Ax+By+C>0都成立.

由此在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合{（x，y）|Ax+By+C>0}是在直线上方的平面区域.

同理还可以得到以下性质：

引理2：对于二元一次不等式Ax+By+C>0，若B<0，则其不等式所表示的平面区域为直线Ax+By+C=0的下方.

引理3：对于二元一次不等式Ax+By+C<0，若B>0，则其不等式所表示的平面区域为直线Ax+By+C=0的下方.

引理4：对于二元一次不等式Ax+By+C<0，若B<0，则其不等式所表示的平面区域为直线Ax+By+C=0的上方.

对以上性质进行比较研究不难得到以下定理（为了便于总结，不妨把“>”理解为正，“<”理解为负）：

定理：对于二元一次不等式Ax+By+C>0（或Ax+By+C<0），當B的符号（正负性）与不等号“>”或“<”的符号相同时，其不等式表示的平面区域必在直线的上方；当B的符号与不等号“>”或“<”的符号不同时，其不等式表示的平面区域必在直线的下方.上下方与A的符号无关.

与复合函数的单调性判断——同增异减一样，我们可以把上面的定理简化为“同上异下”.

利用这个原则，在解有些题时可不用画图直接出答案，提高了解题速度；在解有些题时在图上能很快判断出平面区域.

例1：不等式2x-y-4<0表示的平面区域在直线2x-y-4=0的？摇 ？摇方.

解：因为y的系数与“<0”的符号相反，根据“同上异下”原则空格处应填“上”.

例2：已知ax+（a+x）y-3>0表示的平面区域是在直线ax+（a+x）y-3=0的下方，求a的取值范围.

分析：此题用常规方法是：先取特殊点原点带入，判断出原点一定在对应直线上方，再讨论斜率，画出直线的两种可能性，然后利用截距的符号得出a的取值范围.由于要分多种情况因而增加了题目的难度.但是如果用“同上异下”的原则，就很容易判断出a的取值范围.

解：因为已知的平面区域是在直线ax+（a+x）y-3=0的下方，所以y的系数的正负性与“>0”所表示的正号相反，即a+2<0，a<-2.

例3：用三条直线x+2y-2=0，2x+y-2=0，x-y-3=0围成一个三角形，试写出三角形内部区域满足的不等式组.

解：∵平面区域为三角形的内部区域，∴所求的不等式不能取“=”.

在平面直角坐标系中画出三条直线（如图），得到三角形内部区域为如图的△ABC的内部.

因为平面区域在直线x+2y-2=0的下方，在直线2x+y-2=0的下方，在直线x-y-3=0的上方，

所以由“同上异下”原则得到不等式组为：

x+2y-2<02x+y-2>0x-y-3<0

例4：（2007，浙江）设为实数，若{（x，y）|x-2y+5≥03-x≥0mx+y≥0}？哿{（x，y）}|x■+y■≤25|，则m的取值范围是？摇？摇 ？摇？摇？摇？摇.

解析：题中所给的集合关系为两个点集关系，数形结合，画出其对应图形，在画图中唯一的麻烦是mx+y≥0是不容易确定，但利用“同上异下”原则加上对应直线过原点这一定点，mx+y≥0所表示的平面区域必在直线mx+y=0的上方，由于第一个集合所表示的平面区域一定要在原点为圆心，5为半径的圆上或圆内，因此直线mx+y=0的斜率-m≤0，又点C（3，-4）对应的斜率K■=-■，刚刚满足，所以-m≤-■.

从而可得0≤m≤■.

参考文献：

[1]普通高中课程标准实验教科书数学必修5.

[2]波利亚.怎样解题.

[3]唐绍友.线性规划问题在高考中的走向.