游走在垂线与垂面之间

王芳

从高中最核心的数学知识和方法出发，探讨数学智慧.

几何法和向量法是求解立体几何问题的两大方法.向量法侧重于量化和计算，其本质是把几何问题代数化.几何法则更能体现立体几何的真正韵味——通过缜密的推理和演绎，体味空间想象的魅力.接下来，我们将从几何法入手，通过对一张重要知识结构图的解读，领略立体几何那交织着逻辑与想象的别样风景.

重中之重是垂线

高中阶段，立体几何模块的绝大部分知识都是围绕着“平行”与“垂直”这两种特殊的位置关系展开的.图1基本囊括了求解高中立体几何问题所需的定理或定义.

① “线∥线→线∥面”即线面平行的判定定理： 平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行.

② “线∥面→线∥线”即线面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.

③ “线∥面→面∥面”即面面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

④ “面∥面→线∥面”即线面平行的定义： 如果两个平面没有公共点，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面.

⑤ “线⊥线→线⊥面”即线面垂直的判定定理： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

⑥ “线⊥面→线⊥线”即线面垂直的定义： 一条直线垂直于一个平面，则该直线与该平面内所有直线都垂直.

⑦ “线⊥面→面⊥面”即面面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

⑧ “面⊥面→线⊥面”即面面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直.

⑨ “线⊥面→线∥线”即线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行.

⑩ “线∥线→线⊥面”： 两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面.

？輥？輯？訛 “面∥面→线⊥面”： 一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面.

？輥？輰？訛 “线⊥面→面∥面”： 垂直于同一条直线的两个平面平行.

从图1可以看出，“线面垂直”知识处于该知识结构图的核心地位，是联系其他立体几何知识的“交通要道”.

“线面垂直”的相关定理、定义不仅广泛应用于立体几何证明题，也大量出现在立体几何计算题中.

如图2所示，要求直线l与平面α所成角∠PAO的大小，必然要用到垂线PO.在图3中，要求二面角α-l-β的平面角∠PAO的大小，还是不能回避垂线PO.可见，无论是求空间角还是距离，“垂线”在立体几何计算题中都有着举足轻重的地位，可谓是一“垂”定音.

然而，相较于平行关系，垂直关系显得更难判断一些.

如图4所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，我们不难看出BC1∥平面AB1D1、平面AB1D1∥平面BC1D，却很难察觉出A1C⊥BC1、 A1C⊥平面AB1D1.

那么，能否找到一种有效的方法，快捷、准确地得到垂线或垂面呢？

发生在垂线与垂面之间的视觉游戏

我们回顾图1中⑦和⑧所示的两条定理.

⑦ “线⊥面→面⊥面”即面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

这告诉我们：经由垂线，可以“生长”出无数个过这条垂线的平面，它们都与已知平面垂直.简言之，“有垂线的地方就有垂面”.

⑧ “面⊥面→线⊥面”即面面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直.

这告诉我们：“有垂面的地方就有垂线”.

这两条定理把垂线与垂面紧紧地捆绑在一起.

现在，让我们玩一个类似“击鼓传花”的游戏，以“垂线→垂面→垂线→垂面→……”的形式不断传递 （见图5），直至得到所需的结论.

传递①： 已知PA⊥平面ABC？圯平面PAB⊥平面ABC.

传递②： 增加条件“BC⊥AB”，因为平面PAB∩平面ABC=AB，由平面PAB⊥平面ABC？圯BC⊥平面PAB.

传递③： BC⊥平面PAB？圯平面PBC⊥平面PAB.

传递④： 增加条件“AD⊥PB于D”，因为平面PBC∩平面PAB=PB，故由平面PBC⊥平面PAB？圯AD⊥平面PBC.

传递⑤： 联结DC，由 AD⊥平面PBC？圯平面ADC⊥平面PBC.

传递⑥： 增加条件“BE⊥DC于E”，因为平面ADC∩平面PBC=DC，而BE⊥DC，故由平面ADC⊥平面PBC？圯BE⊥平面ADC.

通过上述传递，我们发现了一条显著规律：垂线、垂面是交替出现的，即由平面α上的垂线l1可以确定该平面的垂面β，而由垂面α，β又能得到其中一个垂面的垂线l2.

在传递中，尽管垂线l1或垂面α是固定的，但由此延伸出的垂面β或垂线l2却不是唯一的.

所有过平面α的垂线l1的平面均为平面α的垂面，即一条垂线可以引出一系列过该垂线的垂面.

如图6所示，在传递①中，只要在BC上任取一点M，就能得到平面PAM⊥平面ABC.如图7所示，在传递⑤中，只要在PC上任取一点N，就能得到平面ADN⊥平面PBC.

同样的，一条交线可以分别在两个垂面内延伸出“一排”垂线.

如图8所示，在传递②中，若在交线AB上任取一点Q，在平面ABC内作QT⊥AB，就有QT⊥平面PAB.同理，若在平面PAB内作QS⊥AB，就有QS⊥平面ABC.

尽管我们可以根据“垂线、垂面是交替出现的”这个经验，通过以上“游戏”找出足够多的垂线和垂面，但在具体解题时，我们应优先考虑通过传递，从题中现成的线或面中寻找垂直于已知垂面的垂线或过已知垂线的垂面，并尝试利用它们解题.若这些现成的线或面不适用于解题，再考虑利用作辅助线等手段寻找合适的垂线或垂面来解题.

通过传递，从题中现成的线或面中寻找垂直于已知垂面的垂线或过已知垂线的垂面，并尝试利用它们解题.若这些现成的线或面不适合用来解题，再考虑通过作辅助线等手段寻找合适的垂线或垂面来解题.解题中的运用

如图9所示，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形.已知BD=2AD=8，AB=2DC=4■.

（1） 设M是PC上任意一点，求证：平面MBD⊥平面PAD；

根据“有垂面的地方就有垂线”这个经验，条件“平面PAD⊥平面ABCD”意味着在这两个平面中，必定能找到垂直于交线AD的直线.

根据“有垂线的地方就有垂面”这条经验，可由BD？奂平面MBD得到平面MBD⊥平面PAD.

【练一练】

如图12所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的投影H必在

（A） 直线AB上 （B） 直线BC上

（C） 直线AC上 （D） △ABC内部

【参考答案】

A （要求C1在面ABC上的投影H的位置，就是要寻找平面ABC上过点C1的垂线的垂足.若能找到过点C1且垂直于平面ABC的平面，过点C1作两平面交线的垂线，即可得垂足.

由∠BAC=90°可得AC⊥AB，又AC⊥BC1，而BC1∩AB=B，故AC⊥平面ABC1，所以平面ABC⊥平面ABC1，交线为AB.

因为C1∈平面ABC1，所以C1在平面ABC上的投影H必在交线AB上）