从高考试题看向量数量积的求解方法

韩艳莉

平面向量的数量积是平面向量的重要内容，与三角函数、解析几何、平面几何等章节有密切联系.在江苏高考考试说明中是8个C级要求之一，难度比较大.纵观近几年的高考试题，数量积的求解方法主要有以下几种.

一、定义法

图1评注：平面向量的数量积的定义是a·b=|a||b|cosθ，由此可见，利用定义求向量的数量积关键是求出两个向量的模及其夹角.这里面两个向量的夹角容易弄錯，切记是通过平移使两个向量共起点时所形成的[0°，180°]内的角是两个向量的夹角.

练习：已知△ABC是边长为1的等边三角形，求 AB·BC=.

二、坐标法

图2[例2]（2012年江苏高考，9）如图2，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF的值是.

分析：图形中有垂直关系，故想到求数量积用坐标运算.

评注：当两个向量的模或夹角不好求时而图形中又有垂直或对称关系时，虽然题目中没有坐标系，也可以建立直角坐标系利用数量积的坐标运算来求解.

评注：当图形中不好建立直角坐标系转化为坐标法求数量积时，而题目条件集中在某几个向量上时，可以将目标向量用已知向量线性表示后再求数量积.目标向量用已知向量线性表示时要用到向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量减法的三角形法则及向量的数乘运算.

图6练习：（2012年浙江卷）如图6，在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=.

分析：本题图形中有直角可以建立直角坐标系，用坐标法求向量的数量积，也可以用线性表示法，但相对来说都比较复杂.本题用投影法就非常简单.

评注：设a，b是两个非零向量，| b|cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影.如下图所示：

由此可知，a，b的几何意义是：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.

虽然向量数量积的求解方法很多，拿到具体的问题要根据题目条件选择合理、恰当的方法，正确、快速地将问题求解出来.

（责任编辑黄春香）