数列中的存在性问题研究

朱丽萍

数列是高中数学中的一个重要的内容，也是近几年高考的一个热点内容.一方面考察的是数列的基本内容，包括理解等差、等比数列的概念并能利用定义证明，掌握等差、等比数列的通项公式及前n项和公式；另一方面主要考察分析、探究及逻辑推理的能力，主要是一些探索性结论的证明及数列不等式.本文就其中的一类——存在性问题进行分析研究，旨在探索解题规律，揭示解题方法.

数列中存在性问题通常是给出一个结论，然后让我们来探究是否存在，若存在则求出结果，不存在则说明理由.这类问题的基本解题方法是反证法，其格式为先假设命题结论中的数学对象存在，在这个前提下根据已有的条件、定理、性质、公理等进行推理和计算.若得出矛盾，则说明假设不成立，这样的数学对象不存在，若存在则可以解出需要的结果.解该类问题对学生的逻辑推理能力和综合数学素养要求较高.下面结合具体实例，来分析存在性问题证明中的若干方法.

一、利用数的奇偶性证明存在性

例1已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+Sn=2.

（1） 求数列{an}的通项公式；

（2） 求证：数列{an}中不存在任意三项按原来顺序排列后成等差数列.

解析：（1）已知an与Sn的关系式求数列{an}的通项公式，是学生熟练的题型，容易求出an=12n-1.

（2） 假设存在{an}中的任意三项ap，aq，ar（p

所以等式的左边为奇数，右边为偶数，等式不成立.

所以数列{an}中不存在任意三项按原来顺序排列后成等差数列.

说明：该题主要是根据等式“22-q=21-p+21-r”说明这样的p，q，r是否存在，直接求出是不可能的，所以根据这3项都以2为底，利用奇数、偶数不可能相等的事实，将表达式转换到2r-q+1=2r-p+1来处理.

二、利用数为正整数求解存在性

例2已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，且满足a2n=S2n-1，令bn=1an·an+1，数列{bn}的前n项和为Tn.

（1） 求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；

（2） 是否存在正整数m，n （1

说明：这题的关键是在得出n=2m2-2m2+4m+1后，根据1

例3设数列{an}的前n项和为Sn=n2，数列{bn}满足bn=anan+m（m∈N*），问：是否存在m，使得数列{bn}中存在某项bt，满足b1，b4，bt（t∈N*，t≥5）成等差数列？若存在，指出符合题意的m的个数；若不存在，请说明理由.

所以存在符合题意的m共9个.

说明：这题与例2的基本思想是一样的，将t用m来表示，根据字母t的特征“t∈N*，t≥5”，所以m-5必须能被36整除.本题中得到t=7+36m-5是关键，然后利用整除性即可解决.

三、利用基本不等式证明存在性

例4已知数列{an}的首项a1=35，an+1=3an2an+1 （n∈N*）.

（1） 求证：数列{1an-1}为等比数列；

（2） 是否存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列且am-1，as-1，an-1成等比数列？如果存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.

解析：（1）易证1an-1是以23为首项，13为公比的等比数列.

（2） 由（1）可以求出an=3n3n+2，

所以an-1=-23n+2.

假设存在互不相等的正整数m，s，n，使得m，s，n成等差数列，且am-1，as-1，an-1成等比数列，

而m，n，s为互不相等的正整数，所以等号不成立.

所以不存在这样的正整数m，s，n符合条件.

说明：该题主要根据基本不等式的“一正、二定、三相等”，由于2s=m+n，所以利用基本不等式当且仅当m=n时等号成立的解题思路，学生上手也比较容易.

四、利用函数思想求解存在性

例5设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列.

（1） 求数列{an}的通项公式（用n，d表示）；

（2） 是否存在常数c，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn>cSk都成立.若存在，请求出c的取值范围；不存在，则说明理由.

解析： （1）由题意可求出a1=d及Sn=a1+（n-1）d，得d>0，Sn=n2d2.

（2）假设存在c使得Sm+Sn>cSk成立，則m2d2+n2d2>ck2，

说明：这题在得出c92，从而得到c的取值范围.

通过以上例题中出现的存在性问题，我们不难发现，数列中出现的存在性问题的证明都与其项的下标字母有关，所以解这类问题的方法主要是将数列问题利用等差、等比的一些简单性质转化为含有下标字母的等式，然后利用项的下标所需满足的一些条件，如正整数、几个字母互不相等、在给定的范围内恒成立，从而得出答案.我认为在教学此类题型中要求学生做到以下两点：1.掌握等差、等比的定义，等差中项、等比中项的概念，能根据题意列出表达式；2.熟练含有多个字母的代数式的变形、计算，掌握基本不等式及函数的最值计算.

（责任编辑金铃）