对2013年广东高考数列题的探究及推广

梁文威

近年来的高考数列解答题，常与不等式证明结合作为压轴题的形式出现，这类问题既需要证明不等式的基本思想和方法，又要结合数列本身的结构和特点，有着较强的技巧性，能综合考查考生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.因此有关数列不等式的证明是一个常考不衰的题型，用“放缩法”证明数列不等式更是历年高考命题的热点，对“放缩法”的巧妙运用往往能体现出创造性，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果.故此，笔者将分享对2013年广东高考数列题的探究及推广，以期与同行交流和探讨.

一、试题

二、试题解析

三、试题评价

从试题的编拟来看，这道数列试题充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标.试题的第（1）问比较常规，学生比较容易上手，以增加学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问利用递推关系求数列通项公式，这应该是学生比较熟悉的，这样可以让他们能够心平气和地思考问题，但在思维的层次上和运算能力上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍；第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出.这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过数列压轴题增加试卷区分度的目的，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.

从数学思想方法和能力要求上看，数列试题着重考查了考生的转化思想和整合放缩思想等重要数学思想方法.第（2）问，结合题目的已知条件，根据递推数列的特征进行化简变形，并有针对性地构造等差数列从而得到数列的通项公式；第（3）问，灵活巧妙地对数列求和进行放缩处理，达到化繁为简、化难为易，事半功倍的效果.

从评卷情况来看，数列解答题虽然一看题目似乎是“通性通法”，但很多考生的思维定势比较明显，不能做到精细的放缩估计.故此，笔者主要针对第（3）问展开深入的探究和推广.事实上对本题进行适当的延伸拓展、探究，作为一个专题教学，进行数学美的赏析，不失为一个好的探究性学习和研究性学习素材.

四、试题的加强

1. 解答第（3）问的时候，发觉可以用<=-继续放缩下去，从而得到一个更进一步的估值结果.

评注：上面的推论二是利用了例2的结论将原试题中的更进一步地推广到（a≥2），可以说是为本道高考数列题探究和推广画上的完美句点.

通过对这道高考数列题的深入探究和推广，笔者发现此题可作为研究性教学的素材，对本题进行研究性教学时，学生可重点研究试题的立意以感悟考查的目的与学习重点，研究试题的解法以优化解题策略和方法，研究试题的推广以培养探究意识和创新精神.总之，高中数学的主要任务不仅是学知识，也要增强数学素质，优化思维结构，注重思想方法和能力的提升.

责任编辑 罗 峰