将数学建模思想融入中学数学教学

李柱元

近几十年我国大中小学数学教育的改革表明，加强教学中数学建模思想和能力的培养是帮助学生培养解决问题能力的一种非常有效的方式.它既是应试教育的有力武器，也是素质教育的有效模式，在中学数学教学中融入数学建模思想可谓一举多得.

一、 数学建模对学生综合素质的作用

1.提高学生分析问题、解决问题的能力. 數学建模的第一步是训练学生的抽象概括能力.学生需对问题中的有效信息进行抽象概括并用自己的语言重组后表达出来，这就锻炼了学生的抽象概括能力；其次，数学建模能锻炼学生的分析综合能力、想象力和洞察力.

2.提高学生的动手动脑能力和实践能力. 学生在建立数学模型的过程中，需要深挖教材、广泛研究相关的教辅资料、利用电脑上网查询相关的信息，很好地培养了学生的动手动脑能力和实践技能.

3.提高学生的创新精神.数学建模并非一成不变，它有不同的表现形式，解决同一问题时，由于入手点不同，方法不同，最终建立的模式也不尽相同，在创建模式的过程中有利于提高学生的创造力，有利于培养他们的创新精神.

4.培养学生沟通协调能力和团队合作精神. 在建模过程中，不同思路、不同方法的碰撞，需要学生阐明自己观点的同时能与其他思想协调一致、共融共通，这就需要学生尽最大努力去与他人协调沟通，在沟通的过程中，相互补充、相互妥协；问题的解决有时不可能凭一人之力，需要学生在小组合作学习中群策群力，这能很好地锻炼学生的沟通协调能力和团队合作精神.

二、数学建模在教学中的应用举例

1.问题提出

汽车司机在行驶过程中发现前方出现突发事件，会紧急刹车，人们把从司机决定刹车到车完全静止这段时间内汽车行驶的距离，称为刹车距离.常识告诉我们，车速越快，刹车距离越长.那么，刹车距离与车速之间是正比例函数的关系，还是其他更复杂的关系？表1是一组车速和刹车距离的数据，请建立刹车距离和车速之间的数学模型.

（1）为了直观起见，我们将车速v与刹车距离d的关系绘制在直角坐标系内.由图可以看出，车速和刹车距离并非呈正比例关系.下面从机理上分析研究.

（2）刹车距离由反应距离（指司机决定刹车到制动器开始起作用这段时间内汽车行驶的距离）和制动距离（从制动器开始起作用到汽车完全停止所行驶的距离）两部分组成.

（3）反应距离由反应时间和车速决定，反应时间取决于司机个人状况和制动系统的灵活性等.对于固定牌子的汽车和同一类型的司机，反应时间可以视为常数，并且在这段时间内车速尚未改变.

（4）制动距离与制动器的作用力、行车速度、汽车自身重量以及天气、路况等因素有关.制动器是一个能量耗散装置，制动力做的功被汽车动能的改变所抵消.设计制动器的一个合理原则是，最大制动力大体上与车的质量呈正比，使汽车大致做匀减速运动，司机和乘客少受距离的冲击.而道路、气候等因素对一般规则来说只能看做是固定的.

3.模型假设

基于以上分析，做出下列假设： （1）刹车距离d等于反应距离d1和制动距离d2之和； （2）反应距离d1与车速v呈正比，比例系数为反应时间； （3）刹车时使用最大的制动力F，F做的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比.

4.模型建立与求解

由假设（2）有，d1=k1v，k1为反应时间，这个数据可以从交警部门获得. 由假设（3）知，在F作用下行驶距离d2做的功使车速从v变成0，动能的变化为12mv2，从而有Fd2=12mv2①.又F与m呈正比，按照牛顿第二定律可知，刹车时的加速度a为常数，可得F=ma ②，将②式代入①消去F和m可得d2=v22a，即d2=k2v2，k2=12a.于是得刹车距离d=k1v+k2v2，从而可以看出，刹车距离d和车速v呈二次函数关系.

通过这个数学建模的完整过程实例，让学生充分了解数学建模的基本思想，同时也让学生在学习过程中充分参与数学建模的过程，使学生对学习数学产生浓厚的兴趣.

（责任编辑黄春香）