对“问题”进行再“问”的教学设计与思考

王增良

对于数学问题的解决，教师常要求学生在数学解题过程中，要做到仔细审题，弄清题意，拟定计划，然后实现解题目的.教学中，要解决数学问题，学生往往被有效的问题分析、计划制订所困扰.如何让学生在复习过程中提高解题的有效性呢？本文对一类数学问题的解决，提出了对“问题”进行再“问”的做法.

什么是对“问题”再“问”？就是指针对题目的问题中出现的概念或未知量进行设问.通过对“问题”的再“问”，引导学生主动发现和构建问题，获取“怎么再问”的技能，从而弄清问题的实质.笔者就“与垂线段有关的最值问题”一课为例，做了尝试.

一、问题的设计及教学意图

课始，我给出了一个填空形式的课题——“与有关的最值问题”，目的是让学生怀着一种揣摩、期待的心境，激发学生求知的欲望.课中，我按让学生通过自助选题→交流合作→师生互动→给出结论这样的教学流程进行教学.可是由于学生自助与合作过程的不理想，本人做了策略上的调整.

1问题引导，重现知识点

[例1]如图1，在Rt△ABC中，D是斜边AB上一动点，CB=6，CA=8，那么线段CD的长最小值为.

图1问题设计意图：重温几何中“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”的知识点，能让学生理解“垂线段最短”的道理.

2分层递进，深化知识点

变式1：如图2，在Rt△ABC中， CB=6，CA=8，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC于D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为（）.

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学生进入了思考，将近三分钟，有一位学生给出了一个答案“当矩形MDCE为正方形时，ED最短”，并解答.经过大家的讨论、师生的互动，认为该生的解答有误.而其他学生也没有其他的作答.学生的表现，出乎我的意料之外.

教师跟学生进行了分析、交流，发现：由于本题中D、E是两个动点，大家在思考时，着眼于从特殊位置这个角度去猜测.故猜测DE是中位线或矩形MDCE为正方形时进行解答.但这两种特殊情形经过分析都是不合题意的，这也让学生明确了解题受阻的原因所在.于是，教师引导大家作出了一个再问“问题”的解题指导.

提问：DE在本题中的本质特征是什么？（学生很快就回答出了“是对角线”）

接问：那么DE和什么相等？（学生答是CM，马上下面就有学生叫出了答案）

问题设计意图：本题意在通过DE向CM的转化，对问题做一个简单变换，达到知识的深化.原来以为大多数学生能做出来，却没想到学生思维受阻，解题不理想，也让我突发了这个再问“问题”的教学指导.

变式2：如图3，在△ABC中，AB=10，AC=8， BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA，分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是.

图3学生经过长时间的思考、交流，也没有想出具体的解题方法.于是教师同样提出了再问“问题”的启发指导.

提问：EF在题目中，根据图形的特征是什么？（学生思考不久就说出了“是圆的直径”）.

接问：那么直径EF与经过点C与相切于点D，有什么关系呢？

再问：设圆心为O，与切点相关的常见的辅助线是什么？（学生回答连接OD，同时学生把OC也连接了）

很快有学生发现EF就是OC+OD，马上有学生叫出来：OC、OD共线，即CD⊥AB时最短.

问题设计意图：通過交流思考，一方面进一步深化知识点，应用这一性质把折线最短转化为垂线段最短问题来解决；另一方面通过解题方法的引导，让学生经历并领会对问题进行再“问”的思考过程及转化方法，培养学生思维的深刻性和转化能力.

3方法尝试，拓展知识点

经学生思考后，教师引导学生分析解题过程.

提问：根据图形特征EF在本题中是什么？（学生自答是弦）

图4接问：圆中的弦长通常怎么计算？（学生答作弦心距，构建直角三角形）

如图5，过O点作OH⊥EF于H，则在Rt△OEH中，∠EOF=60°.

学生得出了只要HE最短即可.

图5再问：要使HE最短，则需什么最短？（学生答OE最短，也即直径最短，即AD最短即可）

问题设计意图：通过这种对问题再“问”的尝试，引导学生从问题入手，对问题进行较为直观的、可操作的转化，避免那种没头绪、耗时间、无为的思考，培养学生解决问题的意识和能力.

二、对问题再“问”教学的思考

1对问题再“问”，是进行有效转化的核心思想

以上几个案例，实际上都是通过转化思想，把看似有难度的问题，转化为学生已经认知的问题或结论.但仅仅从转化这个角度来引导学生解题，切入口有点宽泛，没有针对性，难找到合理且容易入手的转化办法.前面学生在解决问题中表现出来的困难，实际上就是学生缺乏对问题有效转化的思想意识和操作能力.通过对问题再“问”的处理，有效地解决了学生入手解题的难点，让学生恍然大悟或有顿悟之感.对于上述问题解决的再问过程，并不仅仅是简单的再问，而是通过再问的形式，创设一定的情境，让学生主动地形成有价值的问题，从而进行直接或间接的可接受的转化，达到问题解决的目的.从这个意义上来说，再“问”是解决问题进行有效转化的核心.

2对问题再“问”，是解决某些问题的关键所在

分析上面几个案例，我们仅仅停留在对问题中包含的概念未知量等一些要素的再“问”上.再“问”的系列问题提出，也是比较合理的，相互之间的递进也比较明确，但很多数学问题的再“问”却是需要拟定一些复杂的计划，当然这里有它的创造性和必然性.

[例2]如图6，已知边长为a的正△ABC，两顶点 A、B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，联结OC，则OC的长的最大值是.

经过这样的再“问”，解决问题也就顺理成章了.但这种再“问”，需要有很强的数学解题意识，是一种创造性的发问.当然探索一般问题，从特殊入手，也是它的必然性.在这里关键是如何再“问”.

3对问题再“问”，是培养问题意识的重要途径

波利亚在他的《数学解题表》里有这样的描述：如果你不能解决提出的问题，可先解决一些有关的问题，你能否想出一个更容易着手的有关的问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题……对问题再“问”，就是要培养学生的问题意识，让学生能在不断的自问、再问中，弄清“问什么”和“怎么问”，来提高对问题的认识.对问题再“问”，就是要让学生养成一种习惯，逐渐形成高水平的、有指导性的、富于探究性的“问”.因此，教师要善于将本质的数学问题设计成一系列的层层递进的各个问题，从而揭示问题解题中的思维过程和思维方法，有效提高学生的解题能力.

（责任编辑黄春香）