如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想

邓凤文

分类讨论是人们常用的重要思想方法，在生产活动、科学实验、日常的生活中都常需要用到它.因此在初中数学教学中，教师要注重数学分类讨论思想方法的渗透、概括和总结， 要重视数学分类讨论思想方法在解题中的指导作用.本文从以下几点简述如何在初中数学教学中渗透分类讨论思想.

一、在概念教学中渗透分类讨论意识

分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何进行合理分类.这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，给予强化，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识.

在初中数学教学内容中，许多数学概念的定义，如实数和有理数的分类、绝对值的化简、一元二次方程的概念中对二次项系数的限定、平方根中对于被开方数的限定、一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式、两圆的五种位置关系……都渗透着分类讨论的数学思想，对涉及分类讨论思想的问题，教師在讲授时要准确、科学，要让学生对分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固的掌握.

如对于一元二次方程一般式ax2+bx+c=0（a≠0）中涉及a≠0的规定，教学时，先让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化，在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程 kx2-（k-1）x-2（3k-1）=0 中 k 的限制条件，随后进行了概念的变式，隐去“一元二次”四字，问这是个怎样的方程，并如何求解.学生对概念中关键字词及补充条件的理解后，就能很清晰地对 a=0与a≠0两种情况作分类讨论.

在日常教学中的这种有序的、有目的渗透，使学生在学习的过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类，更要遵循分类的同一性、相称性、互斥性、层次性原则，明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了思维的条理性和目的性.

二、在运用法则、定理、公式或运算性质时渗透分类讨论思想

初中数学教材中许多定义、定理、公式、运算性质等本身就是分类定义、分类概括的，教师在教学过程中要有意识地让学生在学习过程中逐步体会分类讨论的思想.

如七年级上册引入负数后即对有理数进行分类：将有理数分为正数、 零、 负数或将有理数分为整数、 分数.

（责任编辑金铃）让学生辨别不同分类的依据，初步体会分类要不重复、不遗漏，标准不同则分类不同的基本原则.此时可提出问题“ -a 一定是负数吗？”启发学生分 a>0，a=0，a<0三种情况考虑.在学习绝对值的定义时，要有意识地启发学生从有理数分类进行认知的迁移，帮助学生概括出a>0，a=0，a<0时，应如何表示，并要求学生能做一些简单的化简题.例如去掉|x-1|和|x+2|的绝对值符号，在解题的过程使学生体会分类讨论的思想方法，学会初步应用.

引导学生探索推导有理数加法法则的过程，实际上就是应用分类思想解决问题的一个完整的过程.在学习知识的过程中，学生深深体会到为什么要分类，更要遵循分类的基本原则.

又如九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

在几何证明题中，常常由于图形的形状、位置的不同而要进行分类讨论.此证明过程中为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况（如下图）去证，要让学生画图、测量、分析、讨论后找到思路，而不能在学生活动之前就给出分类证明，否则就失去了从一般到特殊，从特殊到一般的思维过程，学生就无法体会分类证明的目的和优点.

在数学教学中，我们应该重视法则、定理、公式的论证推理过程，揭示分类讨论的化繁为简，化难为易，化分散为系统的本质，使学生进一步增强分类意识，加深对分类讨论的理解和掌握.

三、在解题过程中突出与强化分类讨论的思想

要解好数学问题，不仅要有足够的数学知识和技能，而且要有清晰的解题思路，在解题的过程中，如何让学生学会运用分类讨论的数学思想，是教学的一个很重要的任务.在教学过程中，可让学生通过练习体会分类讨论思想在不同类型的题目中的运用.

1分类讨论思想在函数中的应用

[例1]函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标.

分析：本题中的函数是什么类型的函数并没有确定，所以要根据a的不同取值，分别考虑此函数是一次函数或者二次函数两种情况.

4分类讨论在动态型几何中的应用

[例4]如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E.

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式.

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由.

图1分析：1用待定系数法求抛物线的解析式，这个解析式在第（2）、（3）题的计算中要用到.

2过点M作MN⊥AB，根据对应线段成比例可以求FA的长.

3将∠EDC绕点D旋转的过程中，△DCG与△DEF保持全等.

4第（3）题，分三种情况讨论△PCG为等腰三角形的情况，根据点P的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标.

以上是我们在教学中碰到的一些运用分类讨论的思想解决问题的实例，除此之外还有很多.在此不一一列举.

总之，数学中的分类讨论思想是一种重要的数学思想，通过加强对学生分类讨论思想的训练，有利于提高学生学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性.教师在确定教学目标、采用教学方法时，都应有意识地突出分类讨论思想，根据初中学生的特点，教学中要遵照循序渐进、逐步深化的原则并采用灵活多变和有效的教学手段来实施分类讨论方法的教学.在进行数学思维训练时，应多鼓励学生用新方法、新思路，拓宽思维领域，以克服思维的呆板性，培养学生多角度、全方位思考的习惯.

（责任编辑金铃）