一种带有自权重的积分波动率的非参估计*

李翠霞，郭二林，包美娟

(兰州大学数学与统计学院, 甘肃 兰州 730000)

波动率也称为易变性，是对金融市场风险程度的估计。从统计角度看，它是以复利计的标的资产投资回报率的标准差。从经济意义上解释，产生波动率的主要原因来自以下三个方面:宏观经济因素对某个产业部门的影响，即所谓的系统风险；特定的事件对某个企业的冲击，即所谓的非系统风险；投资者心理状态或预期的变化对股票价格所产生的作用。

一般而言，金融市场中的信息是连续的影响证券市场价格的运动过程的，数据的采集频率越低，信息丢失越多；反之，采集频率越高，信息丢失则越少。因此，金融高频数据一出现，就成为了金融领域的研究热点。20世纪90年代后期以来，国际上兴起了对金融高频时间序列的研究热潮。高频时间序列研究的代表人物是Andersen和2003年诺贝尔经济学奖得主Engle的学生Bollerslev，他们对高频时间序列的波动率采用“已实现”波动率(Realized Volatility，RV)的全新概念来度量[1-5]。

dXt=btdt+σtdWt,t≥0

(1)

这里W是一个标准布朗运动，b是一个随机可适过程。以此形式代表股票的对数价格在金融工程中已经得到了广泛的认可。

在本文中我们关心的中心问题就是如何来估计

(2)

由于它在金融工程中的重要性，大量的学者已经对积分波动率的估计进行了研究[6-7]，但是我们必须强调的一点是，上面提到的工作[1-7]都是基于我们这里讨论的特殊情形，即：f=1时进行的，而针对一般的函数，对的估计就显得十分重要。一方面，从数学角度上看，有了函数后，对的估计就变得非常复杂。另一方面，在实际工作中，我们往往需要的是的一个函数f(X)的积分波动率的估计，而不仅仅是的积分波动率的估计。如前面提到的股票价格的对数过程Xt可以用伊藤扩散过程来刻画，而实际中我们观察到的仅仅为St=f(Xt)=eXt。此时，积分波动率的估计就变成了I=t=t，因此上面文献中提到的关于积分波动率的估计都是不可用的，这时，我们必须寻求新的途径来解决。幸运的是，我们可以利用上面提到的方法，“已实现”波动率，来构造带有一般函数时的自权重波动率的估计量。

本文中，我们对I给出了一个新的非参数估计量n，此估计量被证明是依概率收敛到I的，同时对于此估计量，我们还得到了它的渐近正态分布。而针对该渐近正态分布，我们给出了一个学生化的表达式，从而对此估计量可以构造置信区域并做相应的假设检验。最后的模拟数据以及直方图与QQ图也说明了我们提出的估计量的收敛是一致有效的。

1 模型假定

假设X的观察时刻为0=t0

假设3 假设函数f是α-李普希兹函数，即存在常数C，к> 0以及α∈ (0; 1] 使得，对任意的x，u有：|f(x)-f(u)|≤C|x-u|α(1+|x|2κ+|u|2κ)。

2 主要结果

在本节中，我们考虑在结构(1)下对(2)中的函数进行估计。我们定义：

(3)

则我们有下面的定理成立：

定理1 大数定律)在假设1-3成立的情形下，我们有下面的结论：

证明

其中由假设3，我们有：

从而，最后一个不等式成立。

现在，我们来证明中心极限定理。为此，我们先给波动过程一个结构上的假定。

假设4 假设波动函数σ={σt,t≤0}满足方程：

假设4是证明中心极限定理时所需的一个标准假设，在中心极限定理中，我们需要一个关于依分布平稳收敛的概念，现在，让我们来简单地叙述一下此概念。

≤x,A)=P(X≤x,A)

定理2 (中心极限定理)假设1-4成立，则我们有

(4)

① 由估计量的定义，知

再由假设4及伊藤乘积公式，知，对任意的s>t，

② 在这一部分，我们来证明

由条件期望的定义以及独立增量性，我们有

(5)

利用多维伊藤乘积公式，上面的第三个等式成立。再利用的定义，我们还有

(6)

成立。

联合(5)式和(6)式，由黎曼积分，即得

(7)

由此，我们可以得到中心极限定理的一个学生化形式，利用此形式即可以找出相应的置信区间，从而对该估计量做对应的假设检验。

推论1 假定定理2成立，则有

(8)

3 模拟结果

我们按一个交易日6.5个小时计算，每20，5，3，1秒取一次数据，即分别取n=1 170，4 680，7 800，23 400时来模拟。在这里，我们把股票的对数价格取作著名的Ornstein-Uhlenbeck过程，即

这里，Wu是一个标准布朗运动。

我们重复运行1 000次，结果包含了相对偏(relative bias)，标准误差(standard errors)与均方误差(mean square errors)。同时给出的一些QQ图也证明了我们提到的定理2，即中心极限定理是成立的。

从下表中，我们可以得出的结论是：

随着n的增大，相对偏(r.b.)，标准误差(s.e.)与均方误差(m.s.e.)都逐渐减小，这和我们的理论结果是一致的。

表1 n取不同值时的模拟结果 Table 1 Simulation result for n

图1 n=23 400时的直方图与QQ图Fig.1 Histogram and QQ plot for n=23 400

图2 n=1 170时的直方图与QQ图Fig.2 Histogram and QQ plot for n=1 170

参考文献：

[1] ANDERSEN T G, BOLLERSLEV T. Answering the skeptics: yes, standard volatility models do provide accurate forecasts [J]. International Economic Review, 1998, 39(4): 885-905.

[2] ANDERSEN T G, BOLLERSLEV T, DIEBOLD F, et al. Exchange rate returns standardized by realized volatility are (nearly) Gaussian [J]. Multinational Finance Journal, 2000, 4: 159-179.

[3] ANDERSEN T G, BOLLERSLEV T, DIEBOLD F, et al. The distribution of realized exchange rate volatility [J]. J Amer Stat Asso, 2001, 96, 42-55.

[4] ANDERSEN T G, BOLLERSLEV T, DIEBOLD F, et al. The distribution of realized stock return volatility [J]. J Fina Econ, 2001, 61: 43-76.

[5] ANDERSEN T G, BOLLERSLEV T, DIEBOLD F, et al. Modeling and forecasting realized volatility [J]. Econometrica, 2003, 71(2): 579-625.

[6] A¨IT-SAHALIA Y, MYKLAND P. The effects of random and discrete sampling when estimating continuous-time diffusions [J]. Econometrica, 2003, 71: 483-549.

[7] BARNDORFF-NIELSEN O, SHEPHARD N. Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models [J]. J Royal Stat Soci B,2002,64:253-280.

[8] PODOLSKIJ M, VETTER M. Estimation of volatility functionals in the simultaneous presence of microstructure noise and jumps [J]. Bernoulli, 2009, 15: 634-658.