一类求解广义特征值问题的瀑布型多重网格法

2013-04-09 12:54白建军吕梁学院数学系山西吕梁033000
长江大学学报(自科版) 2013年34期
关键词:变分广义瀑布

白建军,胡 晔 (吕梁学院数学系,山西 吕梁033000)

笔者研究满足Lipschiz条件的常系数连续电磁场Maxwell方程组[1],即求向量场u满足:

式中,Ω∈R2为连通多项式域,∂Ω表示Ω∈R2的边界;n表示∂Ω的外法向单位向量。通过有限元离散,最终将式 (1)中特征值的计算转化为求解线性方程组的问题,对于大型矩阵计算问题,笔者以并行保域逆迭代法为光滑子,结合新外推方法提出一类求解广义特征值的方法。

1 有限元离散

为了离散式 (1),先将区域Ω作三角剖分。根据变分原理[2-5],由有限元逼近[4]将问题转化为:

定义:

则式 (2)和式 (3)可导成A X=λB X形式。其中,A和B都是n×n实矩阵。

2 光滑过程并行保域逆迭代算法 (PDS)

周树荃[6-7]等提出并行保域逆迭代算法有效避免了漏根、迭代过程的不收敛等缺点,提高了解的精度。

算法1(对称不定矩阵LDLT分解在标准存储格式下的并行计算) 由于矩阵A∈Rn×n具有对称性,利用该算法求单位三角矩阵L=(lij)和对角方阵D,使A=LDLT成立。当i>j时,lij将元素Aij覆盖;当i=j时,di将元素Aij覆盖。

步5 k←k+1,如果k>n,停止;如果k≤n,执行步2。

步4 利用Rayleigh商处理近似的特征值,使其尽量精确化

步8 控制迭代,设kk为任意大于零的整数 (一般设置为6)如果k≤kk,执行步2;若不满足k≤kk,执行以下步骤。

3 瀑布型多重网格法 (NCGMGE)

文献 [8]只能对u进行更新,而不能更新λ。而以特征值共轭梯度法[9]为基础的特征值瀑布型多重网格方法 (NCGMGE)[10],在循环迭代过程中,能使 (λ,u)中的λ和u同时得到更新。具体算法如下:

end

4 新的瀑布型多重网格算法 (WPECMG)

为了提高运算的收敛速度,文献 [11]提出并改进了外推方法,笔者结合新外推方法,以PDS法为光滑子给出求解特征值问题一类新的瀑布型多重网格算法 (WPECMG)。具体算法如下:的精确解

end

根据文献 [12]可以得到,在有限元进行离散以后,对于模小的特征值可以得到逼近程度较好的解。

5 数值试验

考虑模型如 (1)所示,仅考虑二维平面下的方程,求解区域为Ω=[0,a]×[0,b],方程组的真解为:

表1 PDS、NCGMGE与WPECMG的数值结果

表2 PDS、NCGMGE与WPECMG的时间结果

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