上下翼缘同时受荷的HM，HW型钢梁整体稳定性分析＊

周 芬，池云祥，杜运兴

（1.湖南大学土木工程学院，湖南长沙 410082；2.河南徐辉建筑工程设计事务所建筑一院，河南郑州 450000）

H型钢梁在工程中应用广泛，在很多情况下受到的荷载情况比较复杂，而《钢结构设计规范》（GB 50017－2003）只给出了其在3种典型荷载，即均布荷载、集中荷载、端弯矩单独作用时的等效临界弯矩系数计算公式，难以满足实际的工程需求.在文献［1］中给出了上下翼缘同时受荷工字形钢梁的理论临界弯矩公式及等效临界弯矩系数的计算公式.文献［1］在推导理论临界弯矩公式时忽略了钢梁屈曲前变形对弯扭屈曲的影响［2－3］，所得出的计算公式只能适用于工字形钢梁和窄翼缘的H型钢梁.由于HM和HW型钢梁在横向荷载作用下，屈曲前有较大挠曲变形.挠曲变形会影响钢梁的屈曲，因此文献［1］中的公式则不能适用于这类钢梁.有必要做进一步的研究.

1 理论临界弯矩公式推导

对于工字形钢梁和HN型钢，两个主轴方向的弯曲刚度EIx，EIy相差很大，受弯时可以假定在其最大刚度平面内变形很小，因此可以忽略屈曲前变形对弯扭屈曲的影响［4］.工字形钢梁整体失稳截面位移示意图见图1.但对于HW，HM型钢梁，其两个主轴方向的弯曲刚度相差并非十分悬殊.其屈曲前的反向拱作用很大，这使受弯构件的弹性弯扭屈曲临界弯矩有较大提高，尤其是HW型钢梁，这种提高有时可达25%［2］.

图1 工字形钢梁整体失稳截面位移示意图Fig.1 Cross－section displacement of I－shaped steel beams under overall instability

为了考虑反拱作用，本文引入临界弯矩修正系数β来考虑屈曲前变形对弯扭屈曲的影响［4］.Trahair，N.S等人得出了纯弯构件的修正系数β计算公式为：式中：βy为不对称截面系数；¯R残余应力的Wagner效应系数.

对于本文研究的双轴对称H型钢梁，可以不考虑残余应力的影响.根据文献［5］的研究结果，受弯构件的修正系数β仅与截面对两个主轴的惯性矩有关，而上式中的其余参数的影响微乎其微.因此将修正系数简化为：

在文献［1］中作者已经给出了工字形钢梁的弯扭屈曲临界弯矩，本文只需要对文献［1］的公式用β进行修正即可.

引入修正系数β后的HM，HW型钢梁弯扭屈曲临界弯矩为：

式中：E，G分别为弹性模量、剪切模量；Iy，Iw，It分别为截面对y轴的抗弯惯性矩、翘曲惯性矩、抗扭惯性矩；h为截面高度；Ix为截面对x轴的抗弯惯性矩；α为荷载比例系数，其值为集中荷载和均布荷载的比值.

2 有限元分析

2.1 模型建立

选取两个HW型截面和两个HM型截面进行有限元分析，其中截面1，2为宽翼缘HW型钢梁；截面3，4为中翼缘HM型钢梁.截面如图2所示.

模型为简支梁，边界条件［6－8］为：两端截面在x方向的位移u（0）＝u（l）＝0，两端截面对纵轴的曲率u″（0）＝0，u″（l）＝0，两端截面的扭转角φ（0）＝φ（l）＝0（φ见图1）.跨度的选择见表1.

图2 截面几何特性（mm）Fig.2 Geometrical properties of sections（mm）

表1 各截面跨度Tab.1 Spans of each section m

2.2 模型计算

变化荷载比例系数α，使α从0～3均匀增加，步长取为0.1.将有限元计算结果与理论解进行比较，并绘制出比较曲线，如图3～图6.

图3 截面1理论解与有限元解对比Fig.3 Theoretical solution and finite element solution for section 1

图4 截面2理论解与有限元解对比Fig.4 Theoretical solution and finite element solution for section 2

图5 截面3理论解与有限元解对比Fig.5 Theoretical solution and finite element solution for section 3

图6 截面4理论解与有限元解对比Fig.6 Theoretical solution and finite element solution for section 4

从上述4幅图中，可得出下列结论：

1）当0≤α≤3时，理论解与有限元解的曲线十分接近，根据数值计算结果知，理论解与有限元解的误差基本在5%以内.这说明在理论推导过程中，引入临界弯矩修正系数β的简化计算公式是合理的.

2）对于HM和HW型钢，尤其是HW型钢，计算表明不能忽略构件屈曲前变形对弯扭屈曲的影响，而需要引入弯矩修正系数β.对于本文所选的4个界面而言，构件屈曲前挠曲变形对临界弯矩的提高分别为：截面1提高22.7%，截面2提高22.6%，截面3提高7.9%，截面4提高8.1%.

2.3 进一步分析弯矩修正系数对临界弯矩的影响

上文已经证实对于HM和HW型钢引入弯矩修正系数β的必要性.本节选取常用的30种HN，HM和HW型钢进行统计分析，结果见表2.

经过进一步的研究表明，HW型钢梁临界弯矩的提高大都在20%～25%之间；HM型钢梁临界弯矩的提高可达3.6%～9%；HN型钢梁的提高全部在3%以下.

因此，HW型钢必须考虑构件屈曲前变形对弯扭屈曲的影响，HM型钢适当考虑构件屈曲前变形对弯扭屈曲的影响，HN型钢可以不考虑构件屈曲前变形对弯扭屈曲的影响.

表2 钢梁挠曲对临界弯矩的提高比例Tab.2 The improvement scales of critical moment caused by deffection

3 等效临界弯矩系数计算公式的拟合

3.1 等效临界弯矩系数的计算公式

文献［1］根据钢梁受弯整体稳定性验算公式得出了等效弯矩系数的计算公式［1］，如式（5）：

式中：Mx为理论临界弯矩值Mcr，φb0为双轴对称等截面工字梁纯弯曲时的整体稳定系数.

3.2 绘制等效临界弯矩系数和荷载比例系数的关系曲线

根据式（5），计算不同类型截面钢梁的等效弯矩系数βb.本节依然选取上文所选的4个截面来分析，为使等效弯矩系数的计算公式更具适应性，将截面4跨度选为5m，6m，7m，8m；截面1～截面3的跨度与表1相同.通过改变梁的跨度l1使得ξ均匀地分在常用区间［0.6，3］内.其中ξ＝l1t1／b1h，是一个反映钢梁跨度、长细比的参数，直接影响着等效临界弯矩系数.

研究4个截面所代表的HM，HW型钢梁的等效弯矩系数βb与荷载比例系数α的关系，并绘制出他们的相关曲线，如图7～图10.

通过比较图7～图10中的βb～α关系曲线可以发现：

1）4个截面等效弯矩系数βb与荷载比例系数α的关系曲线有着几乎相同的发展趋势，呈现出相近的非线性关系.

图7 截面1βb－α关系曲线Fig.7 βb－αcurve for section 1

图8 截面2βb－α关系曲线Fig.8 βb－αcurve for section 2

图9 截面3βb－α关系曲线Fig.9 βb－αcurve for section 3

图10 截面4βb－α关系曲线Fig.10 βb－αcurve for section 4

2）荷载比例系数α和参数ξ同时影响着等效弯矩系数βb，但是荷载比例系数α对等效弯矩系数βb的影响要远远大于参数ξ的影响.参数ξ对等效弯矩系数βb的影响使得同一截面不同跨度的βb－α关系曲线相互分开，从计算表格和绘制的关系曲线中可以发现，这种影响是很小的，不是影响等效弯矩系数βb主要的因素.

荷载比例系数α对等效弯矩系数βb的影响使得同一条曲线随着α的增大，βb呈现出快速的非线性增加.对于任意一条关系曲线，荷载比例系数α对于等效弯矩系数βb的提高都在2倍左右，有的甚至高达2.5倍，这也就意味着下翼缘跨中的集中荷载F可以将任意截面类型的H型钢梁的整体稳定性提高2倍左右，有的情况下甚至可以达到2.5倍左右.这对于我们合理利用钢梁的稳定性，节约钢材有着重要的意义.

3.3 荷载比例系数对临界弯矩的影响

根据上节计算得到的等效弯矩系数的值，分别绘制中翼缘和宽翼缘H型钢梁的βb－ξ关系曲线.并且分别拟合出3类截面α＝0时等效弯矩系数计算公式.其中截面1，2为宽翼缘H型钢梁，截面3，4为中翼缘H型钢梁.为了使图表达清晰，截面1，2取α＝0，0.1，0.3，0.5，0.9，2，3；截面3，4取α＝0，0.1，0.2，0.3，0.5，0.9，2，3.绘制的的βb－ξ关系曲线见图11和图12.

图11 截面1，2βb－ξ关系曲线Fig.11 βb－ξcurve for section 1and 2

当α＝0时，表示只有均布荷载作用在钢梁的上翼缘.这种工况下H型钢梁的等效弯矩系数的计算与《钢结构研究论文报告选集》第二册中夏志斌教授得出的计算公式为βb＝0.110ξ＋0.707.本文得出的结论为等效弯矩系数：HM截面钢梁，βb＝0.102ξ＋0.795；HW截面钢梁βb＝0.135ξ＋0.905.两个截面计算公式的斜率平均值为0.119，常数的平均值为0.850.这个结果和夏志斌教授的结论非常接近.

图12 截面3，4βb－ξ关系曲线Fig.12 βb－ξcurve for section 3and 4

由数值计算表明：对于中翼缘H型钢梁，当α＝3时，等效弯矩系数βb比α＝0时平均提高116.6%；对于宽翼缘H型钢梁，当α＝3时，等效弯矩系数βb比α＝0时平均提高81.9%.这说明下翼缘的集中荷载对提高钢梁的整体稳定性起着明显的作用，但同时也可看出，中翼缘H型钢梁的等效弯矩系数提高的幅度较大，宽翼缘的H型钢梁等效弯矩系数提高的幅度较小.

另外，对于中翼缘H型钢梁，当α＝0.1时，等效弯矩系数βb比α＝0时平均提高13.8%；当α＝0.2时，等效弯矩系数βb比α＝0.1时平均提高10.3%；当α＝0.3时，等效弯矩系数βb比α＝0.2时平均提高8.0%；当α＝3时，等效弯矩系数βb比α＝2.9时平均提高0.4%.对于宽翼缘H型钢梁，当α＝0.1时，等效弯矩系数βb比α＝0时平均提高10.7%；当α＝0.2时，等效弯矩系数βb比α＝0.1时平均提高8.0%；当α＝0.3时，等效弯矩系数βb比α＝0.2时平均提高6.2%；当α＝3时，等效弯矩系数βb比α＝2.9时平均提高0.3%.

从数据可以看出，随着荷载比例系数α的逐渐增加，等效弯矩系数βb的提高幅度越来越小，这说明随着α值的增大，下翼缘跨中集中荷载对提高梁整体稳定性的作用由强变弱，最后趋于零.因此建议，α＞3时，按α＝3考虑梁的等效弯矩系数.

3.4 计算公式的拟合

本文将等效弯矩系数βb与荷载比例系数α和参数ξ之间复杂的非线性关系转变为较为简单的线性关系，即ξ0.5βb－e－α关系曲线，绘制出他们的散点图，并进行线性拟合，拟合曲线如图13～图16所示.

图13 截面1ξ0.5βb－e－α关系曲线Fig.13 ξ0.5βb－e－αcurve for section 1

图14 截面2ξ0.5βb－e－α关系曲线Fig.14 ξ0.5βb－e－αcurve for section 2

图15 截面3ξ0.5βb－e－α关系曲线Fig.15 ξ0.5βb－e－αcurve for section 3

图16 截面4ξ0.5βb－e－α关系曲线Fig.16 ξ0.5βb－e－αcurve for section 4

根据上述4个截面的拟合结果可以看出，虽然ξ0.5βb和e－α有着非常好的线性关系.但他们的拟合曲线的斜率并不相同.两个中翼缘截面的拟合曲线的斜率在［－1.059，－1.147］区间内，平均值为－1.114；两个宽翼缘截面的拟合曲线的斜率在［－1.290，－1.338］区间内，平均值为－1.319.因此为了得到精确的拟合公式需要将他们分别进行拟合.具体拟合公式如下：

中翼缘H型钢梁在上翼缘均布荷载和下翼缘跨中集中荷载共同作用下的等效弯矩系数计算公式为：

决定系数R2＝0.993.

宽翼缘H型钢梁在上翼缘均布荷载和下翼缘跨中集中荷载共同作用下的等效弯矩系数计算公式为：

决定系数R2＝0.980.其中：α≥3时取α＝3；ξ≥2时，取ξ＝2.上述3个拟合公式的决定系数R2都非常接近于1，可见拟合公式的效果比较理想.

3.5 拟合公式的验算

为了验证各公式的适用性，选择的验算截面要有代表性.现分别选取中翼缘和宽翼缘截面H型钢梁各一个，来进行拟合公式的适用性验算.具体截面尺寸见表3.

表3 截面尺寸Tab.3 Section sizes

将上述所选的两个截面进行有限元分析，计算出他们在α在［0，3］区间内各个工况下的临界荷载和临界弯矩，α的增量步长设为0.1.并进一步算出相应的等效弯矩系数βb，然后将有限元算出的等效弯矩系数和拟合公式算出的等效弯矩系数βb进行对比分析，并绘制出他们和荷载比例系数α的关系曲线，如图7所示.

从上述βb－α关系曲线可以看出，所选的两个截面的等效弯矩系数的有限元解和拟合公式解非常接近.当α＞2时，两个截面的误差绝对值都比较大，而中间段误差较为平稳，误差的绝对值也较小.根据数值计算可知，HM390×300钢梁有限元解和拟合公式解的最大误差为4.57%，最小误差为－6.19%，平均误差为－3.16%；HW250×250钢梁有限元解和拟合公式解的最大误差为3.46%，最小误差为－7.75%，平均误差为－3.33%.另外，拟合公式解普遍比有限元解偏小，这说明拟合公式解较实际情况偏于安全.总体来讲，两个截面的等效弯矩系数的有限元解和拟合公式解的误差在可接受的范围内，因此可以确定拟合公式有着较好的适用性.

图17 βb－α关系曲线Fig.17 βb－αcurve

4 结 论

本文通过对HM，HW型截面简支钢梁在上翼缘均布荷载、下翼缘跨中集中荷载作用下整体稳定性的研究得出以下结论：

1）在考虑钢梁屈曲前变形对弯扭屈曲影响，忽略残余应力和初试缺陷的基础之上，得出了简支HM，HW型钢梁在上翼缘均布荷载、下翼缘跨中集中荷载共同作用下的临界弯矩理论计算公式，该公式解与有限元解吻合得比较好.

2）下翼缘的集中荷载可以明显的提高梁的承载能力，这种提高随着α增加而趋于缓慢，α＞3时，承载能力的增加趋于零.

3）通过数值计算，在统计的基础上拟合了等效临界弯矩系数的公式，经验算该公式具有较高的精度.

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