一种关于梯度算子的边缘提取算法

刘 清，王平根，肖晓朋



一种关于梯度算子的边缘提取算法

*刘 清，王平根，肖晓朋

（井冈山大学电子与信息工程学院，江西，吉安 343009）

根据传统梯度算子的边缘检测原理，提出一种基于格林函数的边缘提取算法，并通过严谨的数学逻辑与计算，推导出边缘检测算子的精确解析式。仿真实验结果表明，该算子计算简单，而且有效，与其他传统算子作用效果相比发现其效果较为理想。

格林函数；边缘检测；微分算子；图像处理

0 引言

边缘是图像的一种显著特征信息，且边缘检测是后继图像处理与分析的基础。传统的边缘检测利用微分运算[1-4]，方法简单有效，但是能精确地分析出的边缘检测算子解析式的较少。Torrea[5-7]在前期研究工作中曾提出采用满足二阶微分方程的解来描述边缘检测算子，受此启发，本文则提出另外一种Green函数的形式，且其能够达到三级泰勒近似式即三阶微分方程的通解要求，同时进行数学上的详细而严谨推论与证实，最终离散化后得到边缘检测算子的确切解析式，在算法程序设计并完成编程步骤之后，边缘提取实验结果表明所提出的Green函数的梯度检测算子简单而有效。

1 Greem函数

在此拟研究一种如下形式的Green Function[7]：

图1 格林函数Gu(x)随变量的变化

针对任意，令-(+)=()，满足以下方程的微分计算：

将(5)、(6)式代入(3)式得到：

由(7)式显然可看出，此式实质是一种卷积运算。由此定义一种线性算子即微分算子：

2 边缘提取算子

同理，根据第一节的研究过程进行求解可以得到

而由(2)式可以推导出

由式(11)、(12)推导可以得到

对照(13)式与(12)显然有下式成立：

同理，通过类似的计算有

根据数学上的导数定义

把(14)和、(15)代入式(16)可以得到一个广义的微分算子：

其中为可变参数。

结合式(7)、(16)、(18)有

利用式(20)具备的微分性质，即梯度性质，设计成可以进行图像边缘检测的算子，下一节将应用此算子来进行图像边缘的提取。

3 算法实现

在数字图像的边缘检测中，首先要让微分算子(2-23)进行离散化，满足数字信号处理要求，即

(1)灰度图像的读取；

(2)计算梯度和相位

其中g，g分别为算子()的与图像行、列卷积结果；

(3) 细化边缘，采用非最大值抑制方法，即要求边界点的边界强度大于沿该点梯度方向上的两个相邻象素(正反方向)的边界强度；

(4)阈值处理，采用滞后阈值处理和边缘连接方法，即设置双阈值1、2(1＜2，一般取2=21)，梯度值小于1的点一定不是边界点，介于1和2之间的需要根据邻点的边缘信息来判断，大于2的点一定是边界点。

实验中PC机配置是酷睿双核T5500，内存1G，系统WinXP，软件MatlabR2006b。实验结果如图3所示，图4表明本文算法和其他边缘检测算法的对比：

(a)为原图像，(b)u=0.041，(c) u=0.052，(d) u=0.058

(a)为原图像，(b)Roberts，(c)Sobel，(d)Prewitt，(e)Canny，(f)本章算法

4 结论

利用微分算子进行图像边缘检测是比较经典的方法。但是大多研究者少有讨论边缘提取算法的算子解析式推导，本文则提出一利用用格林函数来构建边缘检测算子的精确解析式，并进行图像边缘的检测。通过实验结果可看出提出的算子计算简单，而且非常有效。不过由程序运行时间发现在时间消耗上不占优势，阈值设置有些复杂，这些后续工作是今后努力改进的方向。下一步工作将在此基础上研究图像边缘的结构信息，即基于内容的边缘表示等。

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[3] Deriche R. Using Canny’s criteria to derive a recursively implemented optimal edge detector[J].Internat. J. Comput. Vision, 1987:167-187.

[4] Sarkar S, Boyer K L. On optimal infinite impulse response edge detection filters.[J].IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell,1991,13 (11):1154-1171.

[5] Torrea˜o J R A, Amaral M S. Signal differentiation through a Green’s function approach[J]. Pattern Recognition Letter, 2002 (23):1755-1759.

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[7] Torrea˜o J R A, Marcos S Amaral. Efficient, recursively implemented differential operator, with application to edge detection[J]. Pattern Recognition Lett., 2006(27): 987-995.

[8] Deriche R. Using Canny’s criteria to derive a recursively implemented optimal edge detector[J]. Internat. J. Comput. Vision, 1987:167-187.

[9] Sarkar S, Boyer K L. On optimal infinite impulse response edge detection filters[J]. IEEE Trans. Pattern Anal. Machine Intell, 1991,13 (11):1154-1171.

A NOVEL ALGORITHM OF EDGE DETECTION BASED ON DIFFERENTIAL OPERATOR

*LIU Qing, WANG Ping-gen, XIAO Xiao-peng

(School of Electronics and Information Engineering, Jinggangshan University, Ji’an, Jiangxi 343009, China)

We put forward a novel algorithm of edge detection based on Green function. Furthermore, the exact differential operator was obtained after detail mathematic deducing and calculation. It was approved that this algorithm had the character of simpleness and efficiency. The solution of experimentation is better than that of Canny’s algorithm after compared with others operators.

green function; edge detection; differential operator; image processing

1674-8085(2013)02-0065-04

TP393

A

10.3969/j.issn.1674-8085.2013.02.015

20012-10-28，

2013-02-06

江西省科技厅指导计划项目(2009ZDG04800）；江西省教育厅科技计划项目(GJJ11180)；江西省自然科学基金(20114BAB211015)

*刘 清(1977-)，男，江西吉水人，副教授，博士，主要从事多尺度几何分析，图像处理研究(E-mail: liuqing960@163.com);

王平根(1964-)，男，江西吉水人，高级实验师，主要从事网络和数据库研究(E-mail:wangpinggen@163.com);

肖晓朋(1978-)，男，江西永丰人，讲师，硕士，主要从事计算机应用研究(E-mail:823224787@qq.com).