关于多属性决策的一种新的区间数排序方法

何万里

摘要： 针对模糊环境下多属性的决策问题，首先把粗糙属性值规范化处理并且计算各属性权重，然后利用粗糙数运算，期望运算以及方差运算把区间排序问题转化为实数排序，从而得到一种新的区间数排序方法。最后通过实例表明此方法的有效性。

Abstract： Based on the fuzzy condition in attribute decision making， first， the normalized formulas for rough attribute values are given， and the attribute weights are derived by calculation. Then， this paper employes the rough artinmetic， expected value operator and the variance value operator， to change the problem of interval number ranking into the problem of real number region ranking， obtains a new interval number ranking method based on variable precision rough set. Finally， an example is given to show the feasibility and availability of the method.

关键词： 多属性决策；区间粗糙数；期望；方差

Key words： multiple attribulte decision making；interval rough number；expected value operator；variance value operator

中图分类号：O29 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2013）03-0303-02

0 引言

多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法在诸多领域中有着广泛的应用。由于客观事务的复杂性、不确定性，以及人类思维的模糊性，在实际的决策问题中，决策信息常常以区间粗糙数的形式给出。文献[1]对这类问题给出了一种研究方法，在此基础上本文对此方法作了改进，实例证明改进的方法应用更加广泛。且具有有效性。我们首先给出一些基本概念和计算公式：

1 间粗糙数

定义1[2] 设U是一个论域，并且X是一个表示概念的集合，其下近似和上近似分别定义为

■=x∈U|R■（x）？哿X，■=■R（X）

其中R（X）={y∈U|y？艿x}，R-1（X）={y∈U|x？艿y}（？艿表示一种具有自反性，但不具有对称性和传递性的二元相似关系）

定义2[2]具有相同下近似和上近似的所有集合的整体称为一个粗糙集，记为（■，■）。

定义3 一个区间粗糙数是下近似和上近似均为区间的粗糙集，记为（[a，b]，[c，d]），其中c？燮a？燮b？燮d。

定义4 设ξ=（[a，b]，[c，d]），ξ1=（[a1，b1]，[c1，d1]），ξ2=（[a2，b2]，[c2，d2]）均为区间粗糙数，λ>0且为实数。则有：

ξ1+ξ2=（[a1+a2，b1+b2]，[c1+c2，d1+d2]）

kξ=（[ka，kb]，[kc，kd]）

定义5[1] 设ξ=（[a，b]，[c，d]）为一个区间粗糙数，则设ξ的期望值为

E[ξ]=■（a+b+c+d）

对于区间粗糙数，可按其期望值的大小进行排序，即ξ1和ξ2为两个区间粗糙数，当E[ξ1]>E[ξ2]时，则ξ1>ξ2。

定义6设ξ=（[a，b]，[c，d]）为一个区间粗糙数，则设ξ的方差值为

σ[ξ]=■（a-E[ξ]）■+（b-E[ξ]）■+（c-E[ξ]）■+（d-E[ξ]）■

对于区间粗糙数，可按其期望值的大小进行排序，即ξ1和ξ2为两个区间粗糙数，当σ[ξ1]<σ[ξ2]时，则ξ1>ξ2。

2 区间粗糙数的规范化与属性权重的确定公式

2.1 属性权重的确定公式的规范化计算公式

设不确定型多属性决策问题方案为X=x■，x■，…，x■，属性集U=u■，u■，…，u■。对方案xi∈X，按第j个属性ui进行测度，得到xi关于ui的属性值ξij，从而构成决策矩阵A=（ξij）m×n。

为了消除不同物理量纲对决策结果的影响，用下列规范决策矩阵的计算公式，即：

将决策矩阵A转化为规范化矩阵P=（pij）m×n，其中p■=p■■，p■■，且

pij=aij/■，j∈I1，i∈m （1）

pij=（1/aij）/（■），j∈I2，i∈m （2）

其中，■=■a■，■=■1/a■

2.2 多属性决策中属性权重的计算

定义2.1 设ξi=a■，b■，c■，d■，（i=1，2）为两个区间粗糙数，则它们的相离度定义为

δξ■，ξ■=a■-a■+b■-b■+c■-c■+d■-d■

根据离差最大化思想[1]，可得到属性权重计算公式为

ω■=■，j=1，2，…，n （3）

在求出属性权重ω=ω■，ω■，…，ω■■之后，方案xi的综合属性值与属性权重的关系为z■=■p■ω■，i∈m。

3 改进的决策方法

第一步：根据表中的数据建立决策表；

第二步：将决策矩阵用公式（1）（2）转化为规范化决策矩阵；

第三步：根据（3）式算出各个属性的权重，进而计算出各个方案的综合属性值；

第四步：计算各方案的期望值，按定义1.5排序；

第五步：对于期望相等的方案，计算其方差，按定义1.6排序，可得到最终排序结果。

4 实例分析

某公司计划进行项目投资，拟定5个备选方案xi（i=1，2，…，5），由此建立决策表如表1。

其中投资额和风险损失为成本型属性。期望收益和风险盈利为收益型属性。

利用（1）（2）进行规范化处理，结果如表2。

根据公式（3）可得属性权重ω=（0.25，0.45，0.25，0.05）T。

可求得各方案的综合属性值为：

z1=（[0.1565，0.2825]，[0.0835，0.4805]）

z2=（[0.1755，0.2655]，[0.108，0.428]）

z3=（[0.1525，0.2575]，[0.0925，0.4735]）

z4=（[0.1425，0.2615]，[0.1025，0.437]）

z5=（[0.1235，0.238]，[0.074，0.375]）

计算各方案期望值，有

E[z1]=0.25，E[z2]=0.245，E[z3]=0.245，E[z4]=0.235，E[z5]=0.2025

因此五个备选方案的初步排序为：

x2=x3>x1>x4>x5

再计算x2，x3的方案的方差得：

σ[z2]=0.0068，σ[z3]=0.209

因此五个备选方案的最终排序为：

x2>x3>x1>x4>x5

5 结论

本文针对不确定决策中模糊量用区间数表示时，提出了一种改进的区间数排序方法，通过计算实例表明该方法一定程度上克服了使用期望值排序的不足，是有效可行的。

参考文献：

[1]曾玲，曾祥艳.一类区间粗糙型多属性决策方法的研究[J].控制与决策，2010，25（11）：1757-1760.

[2]Hwang C.L.Yoon K Multi-attribute decision making： methods and applications[M]，New York： Springer-Verlag，1981.

[3]Zelney M.MCDM： Past decade and future trends. Greenwich： JAI Press，1984， iv：68-78.

[4]Saaty T. L. The analytic hierarchy process[M]， New York： McGraw-Hill，1980.

[5]徐泽水，孙在东.一类不确定型多属性决策问题的排序方法[J].管理科学学报，2002，5（3）：35-39.