软岩的动态力学本构模型＊

赵光明，谢理想，孟祥瑞

（1.重庆大学西南资源开发及环境灾害控制工程教育部重点实验室，重庆400044；2.安徽理工大学煤矿安全高效开采省部共建教育部重点实验室，安徽 淮南232001）

在煤矿开采中，岩体常常受到动态载荷扰动，如掘进爆破、岩板断裂等动力扰动，这些动力扰动常导致采场和巷道围岩的局部失稳，诱发冲击矿压和瓦斯突出［1］。为了研究这些扰动对岩体产生的破坏机理以及如何采取合理的抗爆设计措施，需要充分掌握岩石在动载作用下的动态力学性能、本构关系，特别是岩石和岩体在动载作用下的本构关系，是研究应力波传播规律和抗爆设计等所必需的资料［2］，因此研究软岩材料的动态本构关系具有重要意义。

采用合理的本构模型是研究软岩材料本构关系的关键，本构模型的精度在很大程度上决定着软岩材料在动载作用下的计算结果是否正确反应其动态力学行为［3］。目前，影响最大的岩石动态本构模型是U.S.Lindholm 等［4］提出的过应力模型，但该模型中的物理参量并不明确。20世纪80年代，木下重教等［5］对岩石的动态力学性能进行测试，根据大量实验结果，认为岩石的冲击本构特性可以用宾厄模型来描述，该模型通常称为过应力模型。于亚伦等［6］对过应力模型进行了改进，但是该模型的缺陷是不能反映弹性模量随加载率变化的特征［7］。郑永来等［8］在鲍埃丁流变模型的基础上提出黏弹性连续损伤本构模型，该模型把整个模型认为是损伤的，即黏性元件也是可以损伤的，事实上黏性元件不具备损伤的特征，因此，该模型在物理概念上比较模糊。单仁亮等［7］对大理岩和花岗岩的本构特性进行了研究，根据其应力应变曲线的特点建立了冲击时效损伤模型，但是，专门针对软岩的本构模型还未见报道。

本文中，以泥岩和砂质泥岩2种典型的软岩材料为研究对象，进行动态压缩性能研究，根据其动态力学特性，在考虑现有模型的基础上进行改进，引入一种适合软岩材料的黏弹性统计损伤模型。

1 软岩的SHPB实验

1.1 SHPB实验

以安徽两淮矿区埋深1km 以下的泥岩和砂质泥岩典型软岩为研究对象，利用小直径SHPB 实验系统［9］进行单轴压缩力学性能研究，装置如图1所示。SHPB 杆直径14.5 mm，入射杆长500 mm，透射杆长500mm，两杆的弹性模量为210GPa，泊松比0.30，密度为7.85g／cm3，射弹长度为200mm，弹径14.5mm。

图1SHPB示意图Fig.1SHPB setup

1.2 动态应力应变曲线分析

图2 为泥岩和砂质泥岩在不同冲击速度下的典型应力应变曲线。在图2中，泥岩和砂质泥岩的动态应力应变曲线在初始的上升阶段，其线性响应的变化及初始弹性模量变化表现出与泥岩相似的性质：应力应变曲线在初始的上升阶段表现出非线性，应变率越低，非线性越强；随着应变率的增加，初始弹性模量总体上表现出增加的趋势，和应变率有相关性。达到屈服应力以后，泥岩和砂质泥岩的动态力学性能发生了变化：泥岩随着变形的增加，首先达到极限应力（即单轴抗压强），然后应力幅值有一个小的下降过程，随后进入显著的塑性变形阶段，有的甚至出现一个塑性平台，近似为理想塑性变形；随着应变的增加，砂质泥岩应力幅值有一个小的下降过程，然后直接进入显著塑性变形阶段，极限应力前后有小的塑性变形部分，其塑性变形范围小于泥岩的塑性变形范围。塑性变形后，泥岩和砂质泥岩的应变虽然有一定程度的增加，但应力急剧下降，软岩的全面破坏发生在这一阶段。

图2 泥岩和砂质泥岩不同应变率下的应力应变曲线Fig.2Stress－strain curves for mudstone and sandy mudstone at different strain rates

动载作用下的泥岩和砂质泥岩的应力应变曲线表现出显著的应变硬化和塑性流动等复杂的动态力学特性，考虑现有的动态力学模型，朱－王－唐模型［10］能够描述这种动态力学性能。由于岩石为非均质材料，内部存在缺陷，如岩矿颗粒边界、微孔洞、微裂纹以及软弱介质等，在冲击荷载作用下的破坏应当考虑损伤的影响，因此需要对朱－王－唐模型进行改进，建立一种适合软岩材料的动态力学模型。

2 软岩的本构模型

2.1 朱－王－唐模型

该模型［10］由2个Maxwell体和1个非线性弹簧组成，其本构模型如图3所示，本构方程为

2.2 改进的软岩朱－王－唐模型

胡时胜等［11］在对混泥土材料进行动态力学性能研究时，对朱－王－唐模型进行简化，并且考虑损伤的影响，建立损伤型线性黏弹性模型，但把整个模型看为损伤的，这也意味着黏性元件也是可以损伤的，因此物理概念上也存在模糊。为了克服以上缺点，本文中对朱－王－唐模型做进一步改进，利用黏弹性统计时效损伤模型中的损伤体代替朱－王－唐模型中非线性弹簧，引入黏弹性统计损伤模型。

图3 朱－王－唐模型Fig.3 Zhu－Wang－Tang model

黏弹性统计损伤模型包括2个Maxwell体和1个损伤体，如图4所示，2个Maxwell体一个用来描述松弛时间为φ1 的低应变率时的黏弹响应，另一个用来描述松弛时间为φ2 的高应变率时的黏弹响应，损伤体用来描述岩石材料内部的缺陷在动载作用下的岩石造成损伤的动态力学响应。

对于损伤体D 在损伤前认为是线弹性的，平均弹性模量为ED，强度服从参数为（m，α）的Weibull分布，对于损伤体，

图4 黏弹性统计损伤模型Fig.4 Viscoelastic statistical damage model

式中：εD为损伤体应变，σD为损伤体的应力，由式（2）～（3）得

对于Maxwell体φ1，由串联可得

式中：σ1、σ11、σ12分别为Maxwell体φ1 的总应力、弹性元件分应力、黏性元件的分应力，ε1、ε11、ε12为各应力所对应的应变。

由于

由式（7）～（9）可得

将式（5）代入式（10），得

式中：S 为拉氏变换中的复变量。

将初始条件σ1（0）＝0，ε1（0）＝0代入式（12），得

将式（13）化简整理得

对式（14）进行拉普拉斯逆变换，可得

将上式化简整理得

同理可得Maxwell体φ2 的应力表达式

由于2个Maxwell体和损伤体并联，所以可得到

对式（20）求导，得

由式（4）和式（17）～（21）可得

式（22）可以用来描述软岩材料在受到动载荷发生破坏前的应力应变曲线本构关系。

3 本构模型在实验中的应用

由于极限应力之后，岩石试件在裂纹处发生破坏，导致应力急剧下降，这时由SHPB冲击实验得到的应变并不是岩石材料的真实应变，本文中采用式（22）的本构方程对极限应力以前的应力应变曲线进行拟合，在拟合时，应变率取反射波近似为平台部分所计算的平均应变率。图5～6分别为泥岩和砂质泥岩在不同应变率下的拟合曲线，表1～2分别为泥岩和砂质泥岩在不同应变率下的拟合参数结果。

图5 泥岩在不同应变率下的应力应变曲线Fig.5Stress－strain curves for mudstone at different strain rates

表1 泥岩在不同应变率下的拟合参数Table 1 Fitting parameters for mudstone at different strain rates

表2 砂质泥岩在不同应变率下的拟合参数Table 2 Fitting parameters for sandy mudstone at different strain rates

从图5～6中2种软岩的拟合结果可以发现，拟合曲线和实测曲线具有较好的一致性，说明此模型适用于软岩材料动态力学本构关系。从各组拟合参数结果发现，参数m 的值在1.5左右变化，α 的值进行开m 次方会在屈服应力对应的屈服应变附近变化。泥岩和砂质泥岩材料的松弛时间不是常数，两种岩石反映低应变率响应的松弛时间φ1 的值与混凝土［11］和无烟煤［12］相比，其值相差不大，说明岩石、混凝土、无烟煤对低应变率的响应具有一致性；两种岩石反映高应变率响应的松弛时间φ2 的值与混凝土和无烟煤相比，其值相差较大，说明岩石、混凝土、无烟煤对高应变率的响应具有敏感性。

4 结 论

（1）泥岩和砂质泥岩在动载作用下有显著的应变硬化和塑性流动等复杂的动态力学特性。泥岩和砂质泥岩的应力应变曲线在极限应力之前，表现出非线性，应变率越小，非线性越强；泥岩的初始弹性模量随着应变率的增加，总体上表现出增加的趋势，与应变率有相关性。

（2）采用损伤体黏弹性统计损伤模型能够很好地描述对砂质泥岩材料高低应变率的响应，同时拟合曲线和实测曲线具有很好的一致性。

（3）岩石材料对低应变率的响应具有一致性，对高应变率的响应具有敏感性。

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