平面镜成像问题再讨论

2013-02-22 09:15
物理教师 2013年5期
关键词:竞赛题延长线圆心角

陈 雁

(浙江省宁波市镇海教师进修学校,浙江 宁波 315200)

1 用平面镜成像的基本原理对竞赛题进行简明求解

本刊2012年第11期刊登了“对一道竞赛题的再思考”,以下简称“再思考”,文章对竞赛题的错误答案进行了分析,并给出了正确的结果.但文章中关于为何成7个像的讨论和作图过于复杂,本文试着用平面镜成像的基本原理,简明得出成像的个数.

图1

“再思考”一文讨论的竞赛题:如图1所示,房间内一墙角处相临两墙面挂了两个平面镜,两平面镜相互垂直,在该墙角紧靠镜面处放有一个脸盆,盆内有水.某学生通过镜面和水面最多能看到自己像的个数为

(A)3个. (B)6个. (C)9个 (D)无穷.

原题答案是选项(B),是错误的.正确的结论应该能看到7个像.

竞赛题中,脸盆内的水可以看作水平面上的平面镜.因此,本题就相当于研究3面互相垂直平面镜的成像问题.

平面镜成像特点:像与物关于镜面对称.

先讨论2面互相垂直的平面镜成像,如图2所示.M1、M2为互相垂直的平面镜.S1、S2是一次反射成像:S1是物体经过平面镜M11次反射成的像,S2是物体经过平面镜M2成的像;S12是物体先经过M1再经过M22次反射后所成的像.由于M1、M2互相垂直,所以物体先经过M1后经过M2反射所成的像S12与先经M2后经M1反射所成的像S21刚好重叠,物体S共成3个像.

图2

3面互相垂直的平面镜的成像如图3所示.M1、M2、M3为互相垂直的平面镜.根据平面成像特点,物体在平面镜M1、M2所成的3个像连同物体S,在平面镜M3中成4个像,所以物体S在3面互相垂直的平面镜中共成7个像.7个像中,3个是正立的,4个是倒立的;其中S123是物体经过3次反射后所成的像.由于3个平面镜互相垂直,使得3次反射所成的像S123、S132、S213、S231、S312、S321重叠.

图3

为了验证结果,笔者做了实验,能很清楚看到7个像.

出题者,可能是遗漏了物体S在平面镜M3中所成的像,给出了错误的结果.

2 对互成角度2面平面镜成像规律的讨论

“再思考”一文中另一个结论:“像和被成像者关于镜面对称,既然是对称的,它们应该成对出现,成像个数就为奇数.”

平面镜成像个数一定为奇数吗?从上面的讨论可知,2面互相垂直的平面镜应该成4个像,因为经过2次反射所成的2个像重叠,所以能看到3个像.如果2次反射所成的像不重叠,那么成像个数可以是偶数个,这种情景存在吗?

图4

如图4所示,设两平面镜OM、O N镜面夹角为θ,两镜面间有一物点S,与两镜面直线相交于0点的距离为R.根据平面镜成像的特点,作物点S的像点S1、S2、S3、S4、…… 和 S1′、S2′、S3′、S4′、…….S1、S2、S3、S4、……是物体最后经 平 面 镜 OM 反 射 所 成 的 像 点;像 点 S1′、S2′、S3′、S4′、……为最后经平面镜O N反射所成的像点.

物点经过2平面镜多次反射后,成像位置在2平面镜延长线之间,则这个像即为最后成像,如图4中的像S7、S7′.如果S7、S7′不重叠,则成像为偶数个.

直接研究物点S经2平面镜反射成像个数,试过几种方法,发现问题比较复杂,很难得出一般规律.为此,换一种思路,先讨论2平面镜自身成像情况,在此基础上,再讨论物点成像个数规律.

2.1 平面镜自身成像

任意夹角θ的2平面镜,当它们之间的物点S经过2平面镜多次反射成像时,平面镜本身作为物体,经过彼此平面镜的多次反射也能成像.平面镜OM、ON之间的夹角为θ,根据平面镜成像原理,2平面镜成像如下图所示,小标号表示反射的次数.如OM1为平面镜OM经过1次反射后成的像,OM2为平面镜OM经过2次反射成的像……同理,ON1为平面镜ON经过1次反射后成的像,ON2为平面镜ON经过2次反射成的像……根据平面镜成像原理,OM2可以看作OM经过虚镜ON1反射成像,OM4可看作虚物OM2经过虚镜ON2反射成像……2平面镜经过多次反射后,成像位置在其自身延长线OA、OB之间,则为最后成像位置,因为此时的像位于平面镜背面,从这些“像”发出的光线不能射到镜面,因而不能再成像.

若L为奇数,平面镜及其所成的像将圆分为2 K+1个圆心角为θ的区域和1个圆心角为α的区域,L=2 K+1.最后的K、K′区域没有重叠部分.所分区域关于角平分线CD对称,如图5所示.

图5

若L为偶数,平面镜将圆周分为2 K个圆心角为θ的区域和1个圆心角为α的区域,L=2 K.平面镜成像关于角平分线对称,在角平分线的2侧各形成圆心角为θ的K个区域,最后的K、K′区域部分重叠,重叠部分所对圆心角θ-α.如图6所示.

图6

2.2 物点S成像情况

物点S位于平面镜MN 之间,经过多次反射,在每个圆心角为θ的区域内成一个像.因像点位于2平面镜之间,平面镜OM、ON 的延长线OA、OB在最后的K、K′区域内,所以问题变得比较复杂.物点S最终能成几个像,关键要讨论以下2个方面.

(1)最后的K、K′区域的像SK、SK′的位置:如果SK、SK′位于2平面镜的延长线OA、OB之间,则不能再成像;如果SK、SK′位于2平面镜的延长线OA、OB之外,则能再次经平面镜反射成像.

(2)最后成的2个像会不会重叠:如果最后的2个像重叠,则成像数要减去一个.

物点S在每个圆心角为θ的区域中成1个像,成2 K个像,再对K、K′区域的像SK、SK′,进行讨论.

①K区域中像点SK能再次成像SK+1;K′区域的像SK′位于2平面镜延长线OA、OB之间,不能再成像,如图7所示.

图7

像SK+1和像SK′不可能重叠.

事实上,SK+1、SK关于OB 对称,OMK、OMK-1关于OB对称,像点SK+1不可能位于K′区域,所以像SK+1和像SK′不可能重叠.

①K、K′区域中的2个像SK、SK′均能再次成像,最后2个像为SK+1、SK+1′,如图8所示.

图8

图9

①K区域中的像SK能再次反射成像为SK+1,K′区域的像SK′位于OA、OB之间,不能再次成像.如图10所示.

图10

若α≠0,像SK、SK不会重叠,共成2 K=L个像.

图11

这2种情况,成像个数均为L-1.

(3)成像个数列表.

表1

表1中,θ为2平面镜夹角,β为物点S与平面镜交点O的连线与2平面镜的夹角.2.4 举例L为奇数:

β≤12°,成9个像;12°≤β≤21°,成8个像.

以上是对互成角度2平面镜成像规律的讨论,如有不当之处,请各位同仁指正.

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