从描述和规定看不完全性定理的悖论关联及哲学意蕴

王天思

从描述和规定看不完全性定理的悖论关联及哲学意蕴

王天思

哥德尔不完全性定理与悖论有着耐人寻味的不解之缘。涉及描述自身规定的悖论本身就是描述边界的界碑，此界碑表明了形式系统本身的不完全性。哥德尔不完全性定理根源于规定的不完备性，它从形式上证明了，任何封闭的描述体系都是不完全的；悖论是走向新领域的门枢。在人类理性的边界处做出的规定，正是形式系统甚至所有封闭的理论体系不完全性的根源，从而正是哥德尔不完全性定理的根据。哥德尔不完全性定理的悖论关联，具有极为深刻的哲学意蕴。

不完全性定理；悖论；哥德尔

王天思，上海大学社科学院哲学系教授。（上海 200444）

在哥德尔不完全性定理（Gödel＇s Incompleteness Theorem）中，美妙观念与艰深难解恰成对照，这不仅使哥德尔（Kurt Gödel）被视为“一位被神秘所笼罩的传奇人物”，而且使不完全性定理在人们面前体现为一项不可思议的智力成果：悖论一直被人们定性为必须消解的对象，甚至被看做是“理性的癌变”，而不完全性定理却不仅依靠悖论得以论证，而且本身涉及悖论构成的关键要素。本文试图从描述和规定的角度深入探讨这一不可思议的思想成果，考察不完全性定理的悖论关联及深层哲学意蕴。

一、不完全性定理与悖论

迄今为止，没有任何理论像哥德尔不完全性定理那样，与悖论有着如此微妙的关联。一方面，不完全性定理的证明与悖论密切相关，哥德尔正是用悖论完成对不完全性定理的证明。另一方面，不完全性定理本身深深涉及悖论，不仅芝诺悖论与无穷级数收敛思想的产生，数理逻辑中的不相容性等与哥德尔不完全性定理的提出具有密切关联，而且不完全性定理本身也与悖论有着耐人寻味的不解之缘。

1931年，德国数学家和逻辑学家哥德尔提出了“不完全性定理”，打破了到19世纪末数学家们已经建立起来的理想：“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来。”不完全性定理指出：由于必然存在至少一个不可证命题，任何作为封闭形式体系的公设系统都是不完全的。

哥德尔不完全性定理的提出有两个同样令人震撼的方面：不完全性定理本身及其证明。两者都耐人寻味地涉及被认为是导致悖论的两大要素：自我指称和否定概念。

和许多数学论证一样，哥德尔不完全性定理的证明涉及自指的本质性使用。这方面，哥德尔的观点与塔尔斯基（Alfred Tarski）比较相近，他曾给出“说谎者悖论”的一个变种：

1934年5月4日我所表述的陈述句全都是假的。（当天他只说过这么一句话。）

哥德尔由此断言，“英语中的假句子”不能在英语中表述。对此，逻辑学家本奇在《数学谬论和悖论》一书中有这样一个评论：“这个‘证明’没有丝毫说服力！”[1](P25)笔者理解，哥德尔在这里是想说：假句子不能在假句子本身中表述。如果是这样，则本奇的评论源自哥德尔表述的失误。关于这一点，我们可以在哥德尔不完全性定理的论证中进一步看到。

在哥德尔不完全性定理的论证中，直接相联系的是“理查德悖论”。为便于理解，我们以“书目悖论”为例进行讨论。

古希腊著名学者卡里马楚斯在古老的亚历山大图书馆里编制亚里士多德学派著作的目录时，他碰到了一个用亚里士多德逻辑完全无法解决的问题。原来在编目时，他把所有的目录分成两大类。第一大类是“自身列入的目录”，即把自己也列入从而包含自身在内的目录。第二大类是“自身不列入的目录”，即不把自己也列入从而不包含自身在内的目录。

当卡里马楚斯编完第二大类的目录，即编出了第二类书目的“总目”。但这部“自身不列入的目录”的“总目”让他为难了。“总目”该不该收入这本“总目”本身？如果它不列入 “总目”，不仅自身不成其为名符其实的 “总目”，而且正好使它成了一部“自身不列入的目录”。按照他的分类原则，他就应该甚至必须将 “总目”本身列入“总目”。但如果将自身列入，那就使自己成了一部“自身列入的目录”。同样，按照他的分类原则，又不能列入自身。这样，如果不自身列入，就必须列入自身；如果自身列入，则不能列入自身。无论列入与否都不对，都会陷入与逻辑矛盾完全不同的自相矛盾处境。

书目悖论能够使我们更清楚地看到，那位图书馆管理员的问题不在于编了一本普通的书目词典，关键是他在这本书目词典中，要列出这个图书馆里所有书的书名。因此，最后他所遇到的不是一个普通的难题。这本书本身要不要列入？或者说，他是不是应当做一本“自身列入的目录”？这些在技术上都不是问题，问题的关键在于，他能不能编这样一本书目而不违背分类规定或分类原则。这个问题，事实上就集中表现在哥德尔的不完全性定理中。

事实上，逻辑主义试图把数学还原为逻辑的努力未果，直觉主义解悖的成败，形式主义解悖方案的努力和哥德尔不完全性定理，都表明把数学建立在逻辑的基础上需要有对规定的关注和研究。而哥德尔用悖论证明不完全性定理，则已经更实质性地深化到将规定运用于论证了。

由于人类理性本身的性质，当人类认识进入极端处，也只能运用极端的方式。悖论向来是人们致力于消解的命题，但哥德尔却用这种“成问题的”命题证明不完全性定理！

哥德尔定理的证明是将悖论用于证明的范例：通过证明自己说自己不可证的命题来证明它的真。在具体论证过程中，哥德尔先构造出一个说谎者悖论的类似物——命题G：

当前这个陈述在这个系统内不可证。哥德尔证明的技巧就在G构成两个不同的陈述，一个是算术断言，另一个是说自身不可证。对此，美国逻辑学家和哲学家丽贝卡·戈尔斯坦(Rebecca Goldstein)有非常精炼的描述:“当然，G是一个纯粹的算术陈述，但它同时也在谈论它自身，并且它所说的正是它不可证。它所说的是真的吗？是的，它几乎不可能是假的，因为那样它必定可证，从而又无论如何都是真的。……这样一来，G就既不可证，同时因为这正是它所说的，它也是真的。……通过表明正是它说的G不可证，我们证明了G是真的。”[2](P182－183)

也就是说，哥德尔的证明运用了一个类似说谎者悖论的命题G，它断言自身不可证。如果G可证，那么一个可证的命题就是真的；但与它断言自己不可证相悖，因而又是假的。所以，如果在一个具有一致性的系统中G可证，那么G既为真也为假，这一矛盾表明G不可证。而G所说的就是自身不可证，因此G既为真又不可证。这正是哥德尔所要证明的：如果系统是一致的，那么在系统中就存在一个既为真又不可证的命题。这样就证明了形式系统的不完全性。这是一个从描述——归根结底是规定的不完备性证明形式系统的不完全性的证明策略。

二、不完全性定理的悖论关联和规定根源

作为对客体存在状态和性质等的语词－符号摹写，描述具有不完备性，因为描述具有自身的边界，因而有可能超出作为自身前提的规定。规定指的是为描述客体所作的关于数量和质量或方式和方法等标准的设定，也包括科学和哲学中一些明白作出的或隐含的预设。[3]当这个作为自身前提的规定就是自身时，则达到了自身的边界。悖论正是由描述与作为自身前提的规定之间或描述所涉及的规定之间的冲突形成的。[4]因而说到底，悖论在这里是证明形式系统不完全性的重要工具。涉及描述自身规定的悖论本身就是描述的界碑，而这界碑当然就表明了形式系统本身的不完全性，正如我们说 “巴黎的米原器是否是一米长”达到了米制描述的边界，因而表明了米制描述的不完备性一样。米制描述的不完备性就在于必须有一个米原器的规定，而这个规定是超出米制描述本身的。

“米原器”是一种经验的规定，但规定既可以是经验的，也可以是逻辑的。在这里，逻辑的和经验的规定与直觉的东西一样，构成了形式系统的基础。也正是这些规定，构成了不完全性定理的根据。因此，不完全性定理不仅关乎形式系统，而且由于与悖论密切相关而关乎所有描述体系。

自哥德尔不完全性定理和塔尔斯基的语义学真理论发表后，悖论问题的研究发生了重大转向。而哥德尔不完全性定理的提出，则使悖论研究更添无限理论魅力。而且，从悖论在哥德尔证明不完全性定理中的作用和地位，我们可以清楚地看到在推进哲学的进一步发展过程中研究悖论问题的极端重要性。

悖论问题不仅是指向语言描述中出现的具体问题，更是指向人类知识的基础，指向描述和规定的关系，并最终指向规定。哥德尔不完全性定理导致数学家们从悖论的研究中退场，逻辑学家和哲学家登场，悖论研究动机从数学上的转向哲学上的，就是这一点的片断展示。

应当说，哥德尔早就意识到，悖论问题不仅是当代逻辑哲学研究的前沿课题，而且是哲学研究的重大主题。他认为，集合论悖论“是很严重的问题，不过不是对于数学而是对于逻辑和认识论的严重问题”[5](P143)。由此我们可以看到，哥德尔不仅不把涉及自我指称的悖论看做是必须禁止的，而且认为这种悖论具有重要的哲学意义，而他将悖论用于不完全性定理的证明，则是这一点的绝妙明证。在哥德尔不完全性定理的证明中，我们可以看到否定的规定更深刻的意义。由否定的规定所构成的悖论，甚至可能成为我们理论的重要构成部分。

就否定的规定而言，哥德尔理论真的与“禅理”颇为类似。禅宗不认为“语词”能捕捉住“真”。然而，如果文字不能表达 “真”，那么，这句话本身也就构成了对自己的否定，因为这句话本身也是用文字表达的。依靠形式系统获得真理，的确正如通过语词达到真理：“真不能用字来表达，但又不能不用字来表达。”这些形式系统有助于我们获得某些真理，但正如哥德尔定理所揭示的，无论一个形式系统看上去多么严密完整，都是不完全的，都不能让我们达到全部真理。但是，正如禅师除了语词，数学家们除了形式系统，还能依靠什么？

其实，以“特异独行，超然遁世”著称的哥德尔之所以思想 “沉奥深邃、意蕴广远”，就是由于他涉及人类认识的边缘，感觉到了人类知识中某种更根本的东西。当卡尔·门格尔（Carl Menger）告诉哥德尔，“维特根斯坦离谱地说不可判定性证明的唯一用途是 ‘logische Kunststücken’（逻辑小窍门或戏法）”，哥德尔回复道：“就我关于不可判定命题的定理而言，你引用的段落很清楚地表明维特根斯坦没有理解它 （或者他揣着明白装糊涂）。他将其理解为一种逻辑悖论，而事实上正好相反，它是数学中绝对无争议部分 （有穷主义数论或组合数学）中的数学定理。”[2](P118)

事实上，哥德尔不可判定性命题既不是 “逻辑小窍门或戏法”，也不是悖论，而是可能涉悖的规定。可判定性这样一类概念是深深涉入人性的，其否定概念也就是否定式规定在全称描述中几乎无一例外地会涉及悖论。由此可见，只有深入到规定，才能通过不完全性定理的悖论关联，一窥其规定根源。

哥德尔定理所说的任何公设系统都必定具有的不完备性，事实上源于规定的不完备性。也就是说，公设系统的不完全性来自规定的不完备性。集合论悖论正表明集合论公理体系的不完全性，语形悖论的根源在集合论公理体系中规定的不完备性。由于规定的不完备性造成的集合论悖论，是不可能通过形式逻辑的方法消解的。正是由于消解以罗素悖论为标志的语形悖论的努力无果，人们的注意力又回到以说谎者悖论为标志的语义悖论。

从描述的观点看，一方面，从语形悖论走向语义悖论就是从外延逻辑走向内涵逻辑；另一方面，走向语义悖论就是走向规定。

本文所说的内涵逻辑与通常所说的内涵逻辑有所不同，指的是与形式逻辑相对的内容逻辑。当我们对外部事物进行区分，就会通过对一类事物进行概括而形成概念。这些概念之间的逻辑关系正是形式逻辑研究的内容。而当我们对这些概念的内涵进行考察，或者说当我们对作为规定的概念进行分析的时候，我们就涉及事物的内容。对事物内容的逻辑联系的研究就是内涵逻辑的领域。因此，正是对事物的区分导致外延逻辑的形成，而正是对事物的规定导致内涵逻辑的形成。在人类认识中，关于概念内部关系的探索由来已久，只是由于不是自觉地进行内涵逻辑的研究，关于内涵逻辑长期迷失在外延逻辑之中，直到现代仍然如此。事实上，作为处理概念内部关系的逻辑，内涵逻辑和辩证逻辑都是与形式逻辑完全不同的内容逻辑。

在内涵逻辑的这一含义上，哥德尔不完全性定理正是树立在外延逻辑和内涵逻辑之间的一个历史界碑。它认定的那种不能在自身体系中得到证明，甚至是不可规定的东西，就是外延逻辑领域的形式系统生长在内涵逻辑领域的根。建立在外延逻辑基础之上的所有形式系统的不完全性，都可以在内涵逻辑领域找到它们的根源。在外延逻辑领域只是遥遥可见的悖论，在内涵逻辑的背景中，似乎并不是那种不受欢迎、让人欲除之而后快的东西，有时候可能恰恰相反，矛盾和悖论是生长在内涵逻辑领域的两颗最为璀璨的珍珠，正因为如此，悖论才成了人们的“钟爱之物”。

事实上，作为一个描述系统，任何一个封闭的形式体系都必须建立在相应规定的基础之上，即使是简单的自然数体系，也必须建立在自然数字规定的基础之上（比如阿拉伯数字）。试图在一个形式体系内部使该体系变得“完全”，也就是使这个形式体系内部的每一个命题都得到证明，这样就必然走向悖论。因为在那个封闭体系内部的不可证明的命题就是规定。以此规定作为某些描述的前提，就很容易由于描述的“不慎”而与该规定构成冲突。这种情况的发生，可以是由描述的主观原因造成的（比如观念和信息掌握），但更可能是因为那个在形式体系内部不证自明的命题就是一个规定。这个规定作为该形式体系得以成立的前提，在体系内部是不可能得到证明的。不完全性定理的根源，正在于描述和规定的不完备性。

三、规定、悖论和不完全性定理的哲学意蕴

从描述和规定的角度看，哥德尔不完全性定理首先具有这样一个重要哲学意蕴：它不仅从形式上证明了任何封闭的形式体系是不完全的，而且在描述的意义上证明了任何封闭的描述体系都是不完全的。关于证明了任何形式体系都是不完全的，正如杨熙龄所说：“哥德尔证明了在这类演绎系统中，他能建造一句初等数论的语句，这个语句是真的，‘当且仅当’该系统不能证明它为真，这样的系统因此有漏洞，或者说‘不完全’，它至少漏掉了一个真理，要不漏掉这句话，那它就整个儿垮掉，因为它就将得到一个矛盾。”[1](P38)由于任何封闭的形式体系都存在的 “漏洞”，恰恰就是其得以成立的 “不可证命题”，这些 “不可证命题”的基础不是不以人的意志为转移的客观存在，而恰恰是作为我们自己的描述的前提，不仅形式系统，而且任何描述体系都具有描述本身所不可避免的不完备性，因此，任何描述体系都是不完全的，包括哲学在内的一切描述体系都不应再走向封闭，所有描述系统都必定是开放的。

事实上，对于一个描述或形式系统来说，必定存在的“不可证命题”就是作为自身基础的规定。由此我们也可以推见不完全性定理的另一个重要哲学意蕴：任何理论都有自己的“肚脐”，悖论将是我们自然而然走向各个新领域的门枢。正如哥德尔所说:“可以合理地假定：每一个概念，除对某些‘奇异点’（singular points）或‘极限点’（limiting points）之外，是处处有意义的。这样，悖论看起来就类似于用零作除数的某种东西。这样的一个系统在以下方面将是最令人满意的：我们的逻辑直觉直至经过某种小的修改依然是正确的，它们可看成是给出了一个本质上正确的、只是有点‘模糊的’实在状况的图画。”[6](P181)

哥德尔不完全性定理不仅证明形式主义的意图不可能完成，而且证明形式系统是描述性的。因为一个形式系统本身的一致性必须依靠形式系统之外的东西，而且必然借助直觉才能证明。“形式主义者的意图是为达到形式系统的透明消除事物（空间、数字、集合）本身性质的不透明。但对于一个形式系统来说，被证明具有一致性是最重要的。只要公理是真正描述性的，描述性内容的逐渐消失将确保一个形式系统的一致性。这只能在形式系统之外并借助本身不能被形式化的直觉才能做到。 ”[2](P187－188)

正是由于不完全性定理表明不可能从形式技术上完全解决悖论问题，哥德尔不仅认为悖论是对于逻辑和认识论的严重问题，而且区分了“处理外延的数学（集合论）与处理内涵的逻辑（概念论）”。在他看来，“集合永远不能属于自身，全集合是不存在的，但概念也许适用于自身，全概念是存在的 （即概念的概念，它适用于自身）。我们远远没有像迭代集合概念那样清楚的概念的概念，对于‘所有不适用于自身的概念的概念’之类的内涵悖论也没有足够好的直观理解”[7](P302)。

哥德尔不完全性定理表明，一个足够复杂的理论不能证明自身不包含悖论，这揭示了一个基本事实：足够复杂的理论都有自己的“肚脐”。这些肚脐构成了人类处于不同层次的各种描述体系之间的“虫洞”，都隐藏着由此走向另一番天地的门枢。找到这些门枢，可能是人们更加自由地游弋在各种描述层次之间的法门。悖论总是出现在不同层次的理论之间，往往是不同层次理论 “错位”的产物。这种错位也发生在两个基础性的理论——相对论和量子论之间，但这种情况往往发生在一个新的层次的理论还没有建立起来的时候。正像地质构造中板块的错位往往造成自然界的“地震”，理论之间的错位也会带来知识世界的“地震”。在这种情况下，悖论就成了迈向新的理论层面的重要门径。

在哥德尔不完全性定理中，我们会感觉到我们游弋在理性的边缘。的确，我们在相对论、量子论等有点近乎“神秘”的科学领域，特别是在深奥的哲学领域，也会有一种走进理性边缘的感觉，但那更确切地说是我们 （我们个人，不是人类）理性能力的边缘。而在哥德尔的不完全性定理中，我们（不是我们个人，而应当是人类）则的确是走进了理性的边缘——我们深深感受到那种身临“天涯海角”的感觉。在那里，理性游走在自己的极限处，这里我们也可以看得很清楚，在科学和哲学理论中，我们感觉到的是我们在这个世界的极目所见；而在悖论中，我们感觉到的则是在某个特定的认识阶段，我们自己的理性在理性自身中的极目所见。在对世界的极目所见中，我们清楚地知道世界不会在我们的极目之外消失，而在对我们理性的极目所见中，我们则清楚地看到我们理性 “作茧自缚”的奇妙结构：“在卡夫卡和哥德尔那里，都有一种爱丽丝漫游奇境的性质，一种已经进入一个奇特世界的感觉，在这个世界中，事物会变成其他东西，包括它们自身的含义。”[2](P170)

事实上，当规定涉及作出规定的人类理性时，我们就进到了人类理性的边界。在人类理性的边界处做出的规定，就必定具有不完全性。这正是人类规定不完全性的根源，也是形式系统甚至所有封闭的理论体系不完全性的根源，从而正是哥德尔不完全性定理的根据。正是根据这一逻辑，在2002年北京国际数学家大会上，霍金（Stephen William Hawking）作了题为《哥德尔与M理论》的报告。他根据哥德尔不完全性定理得出结论：建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的。正是在这个意义上，我们可以看到哥德尔不完全性定理的再一个哲学意蕴，从而意识到对哥德尔不完全性定理应当有一个更深刻的哲学理解。

从描述和规定的角度看，不完全性定理的再一个重要哲学意蕴是：它表明，包括自身在内的任何描述体系都具有知识的人类学特性。正是由此，我们可以看到，哥德尔定理不仅不应理解为导向绝望[8](P78)，反而应当看做一种启示：人们可以通过退离（back away）更真实地看待对象及我们与对象的认识关系，尤其是我们自己在这一关系中的地位。哥德尔定理当然也不应成为人们陷入关于外部世界的任何神秘主义的借口[8](P78)，因为它所导向的应当是人类自身的奥秘——人类学特性。哥德尔定理不仅意味着人类的智力资源没有也不可能全部形式化[8](P75)，更意味着在更深层次上形式化的结论在非形式化领域具有更深刻的哲学意蕴。哥德尔定理也不仅意味着非形式化的元数学推理具有更根本的意义[8](P75)，更意味着比元数学推理更深层次的规定的探究，具有更重要的哲学意蕴，它意味着对人类理性和人类学特性，对人的创造性更深远前景的更清晰眺望。

规定具有不完全性，而人（包括人的理性）作为一个有限的存在，却总是使出自己的浑身解数去思考与自己的理性基础有关的问题，从而必定遇到悖论。这类悖论不是人所能排除的，除非他不描述，不规定。因此，有些悖论是不可能消除的，它们也不用消除，因为在某种意义上说，这正是人类理性（思维）的本性使然。更为重要的是，对人类描述和规定来说，这些悖论意义尤其重大。它们不仅涉及“实在”、“描述”和“规定”等基本概念，而且深深涉及人类学特性。正是对人类学特性的深深涉入，既显露了哥德尔不完全性定理的描述和规定性质，又晓示了更为深刻的哲学意蕴。哥德尔不完全性定理的这一更为重要的哲学意蕴，正是根源于其悖论关联，归根结底根源于规定的不完备性。

[1]杨熙龄.奇异的循环——逻辑悖论探析[M].沈阳：辽宁人民出版社，1986.

[2]Rebecca Goldstein.Incompleteness：the Proof and Paradox of Kurt Gödel.New York:W.W.Norton＆Company,Inc.,2005.

[3]王天思.描述和规定[J].中国社会科学,2004, (3).

[4]王天思.论描述的性质及其规则——兼及悖论产生的描述根源[J].哲学研究,2007,(8).

[5](德)哥德尔.什么是康托尔的连续统问题？[A].数理哲学译文集[C].北京：商务印书馆,1988.

[6](德)哥德尔.罗素的数理逻辑[A].数理哲学译文集[C].北京：商务印书馆,1988.

[7]张建军.科学的难题——悖论[M].杭州：浙江科学技术出版社,1990.

[8]Ernest Nagel and James R.Newman.Gödel＇s Proof.Routledge：Taylor＆Francis，2005.

【责任编辑：王立霞】

B565.6

A

1004－518X（2013）05－0011－06

国家社科基金项目“悖论的描述成因和解决方案研究”（12BZX004）、上海市社科基金项目“规定论研究”（2011BZX002）