电力系统暂态稳定直接法综述

周先哲 刘 靖 黄 雯

1.广西电网公司电力调度控制中心，广西南宁 530022；

2.华南理工大学电力学院，广东广州 510640

引言

电力系统作为一个复杂的非线性动态系统，在其运行中实时地不断受到各种扰动影响，在这一系列的干扰下如何保证电力系统安全稳定是首要前提。随着各类电气元件的加入，现代电力系统规模不断扩大，且复杂性呈现出飞速增长趋势，对电力系统稳定性的研究备受重视。

暂态稳定是电力系统稳定性的一个重要部分，是指电力系统受到打扰动后，各同步发电机保持同步运行并过渡到新的或恢复到原来稳定运行方式的能力。目前通常指的是保持第一或第二振荡周期不失步的功角稳定。

暂态稳定分析方法目前主要有两种：时域仿真法（逐步积分法）和直接法（暂态能量函数法）。时域仿真法计算速度慢且无法给出稳定裕度，不能满足电力运行部门的要求，而直接法正弥补了这些不足。

直接法是一种基于能量分析系统暂态稳定的方法，其优点是不需求解大规模非线性方程组，通过比较故障切除时系统的暂态能量与系统临界暂态能量来判断暂态稳定，其计算速度快，能够给出稳定裕度指标，基本可以满足在线暂态稳定分析的要求。

基于直接法进行电力系统暂态稳定分析的方法总体有三类[1]：一类是基于暂态能量函数的方法，如RUEP、PEBS、BCU；另一类是基于扩展等面积准则(EEAC)的方法，经历了SEEAC、DEEAC、IEEAC三个发展阶段；第三类是基于时域仿真法与暂态能量函数方法相结合的混合方法。

近十几年来国内外对暂态能量函数法的研究很活跃国内外主要的研究可以概括为以下几个方面[2]：1）暂态能量函数的研究；2）正确UEP的求取方法的研究；3）暂态稳定域的理论和实用算法的研究；4）实际工程在线应用研究。

1 直接法的研究

1.1 基于暂态能量函数方法

1.1.1 RUEP方法

直接法的早期研究[2]主要集中于运用不同的方法建立电力系统的李雅普诺夫能量函数和如何求取不稳定平衡点(Unstable Equilibrium Point，简称UEP)的方法。

在之后的UEP法研究中，学者不断改进，如美国学者在动能修正、能量裕度以及求解RUEP(Relevant UEP)等方面进一步丰富和发展了暂态能量函数法的理论和方法等这些工作使人们对故障轨迹、相关UEP以及系统失稳模式等重要概念之间的相互关系有了更清晰的认识。

早期曾认为临界能量取决于最接近故障后平衡点的UEP。后来又认为应该由受扰轨迹方向上的UEP来决定临界能量，因此大量的研究都建立在所谓的相关不稳定平衡点(RUEP或CUEP)的基础上，并依此而定义了当前大多数李雅普诺夫直接法的实用稳定域。

在暂态能量函数法中，无论计算Closed UEP还是CUEP都需要求解相应UEP。目前计算UEPs的方法主要有：迭代法，动态系统法和同伦法。迭代法如牛顿拉弗森方法，对初始点敏感。动态系统法包括梯度法和伴随法，其思想是将原动态系统的UEP转化为重建系统的SEP。同伦法主要有牛顿同伦法、定点同伦法、单定点同伦法等。

近几年，关于RUEP法的研究，文献[4]首先介绍了一种伴随梯度系统法计算主导不稳定平衡点的新方法，根据此方法，故障系统的平衡点可以通过计算伴随梯度系统的平衡点得到，而这个伴随梯度系统基于原系统。进而该文章提出了对上述方法进行修正，提出对于一个非线性的自治的动态系统，存在一系列的伴随梯度系统，选取合适的伴随梯度系统时作为积分式，考虑误差的控制（error control），从故障轨迹中寻主导不平衡点（CUEP）。

文献[5]相似的同样采用梯度系统方法。与文章[4]不同的是，它考虑的是反射梯度系统法，其基本思想也是通过反射系统和原系统的映射关系，间接求取原系统的UEP。反射梯度系统：实现平衡点的映射，避免CUEP点计算分歧。

由于反射梯度系统和原系统的一一对应关系，反射梯度系统中不会产生或消去原系统中的平衡点。而且可以得出，反射系统法能将原系统中第一类的不稳定平衡点（包括CUEP）转化成反射梯度系统中的稳定平衡点，原系统中第二类不稳定平衡点转化成反射系统中的第一类不稳定平衡点。

在此理论基础上，作者为了提高CUEP的健全性，进一步提出了一种混合方法，将BCU、PEBS、等面积法，反射梯度系统法结合起来，充分利用每种方法的优势。在计算的不同阶段通过不同方法的结合，大大节省计算时间，使得结果更可靠。

文献[6]介绍了基于连续方法计算相关不稳定平衡点（RUEP）的方法。

发电机的机械功率改变从而形成参数化的等式，从稳定平衡点到不稳定平衡点用连续方法追踪等式的结果曲线。能量增加的方向可获得与故障相关的不稳定平衡点。

连续法广泛应用于电力系统静态电压稳定分析中的PV曲线追踪。在此文中，表征发电机机械功率的参数将引入转子方程，采用连续法从SEP开始追踪Pδ曲线。当曲线回到最初状态，则找到一个UEP。获得的UEP大多数情况下是CUEP。此外，还需要在参数化中考虑故障点信息以得到与故障相关的UEP。

文献[7]介绍了一种计算包含具体发电机模型的电力系统能量稳定边界上不稳定平衡点的方法。根据非线性动态系统的稳定域理论，可以推出周期非线性动态系统中不同稳定域边界上的UEP之间的关系。可以证明，当所有负荷为恒阻抗模型，暂态稳定方程等效于常微分方程。结合伴随方法，UEPs可以通过暂态稳定方程的角周期找到。

1.1.2 PEBS方法

在相关UEP法的研究中，人们已经认识到求解UEP时必须解一个非线性方程组，这不但费时、费力，而且有时不收敛。1978年Kakimoto等人首次提出了势能界面法(Potential Energy Boundary Surface，PEBS法)，直接利用持续故障轨迹求取临界势能，省去了求UEP的麻烦，使得直接法的计算速度大大提升。

PEBS法作为暂态能量函数法的一个分支，以速度快、可以考虑任何复杂的模型，没有收敛性问题，引起了各国学者的广泛关注[8]。90年代以来，国外对PEBS法的研究主要是试图将PEBS法与其它方法结合起来以改善其精度。PEBS法的理论与概念也不断在各种直接法中得到应用。文献[9]试图将EEAC法与PEBS法的优点结合起来,并用台湾系统进行了验证；文献[10]则利用系统轨迹与PEBS的交点来提前中止时域仿真计算，以提高计算速度。

自PEBS法出现以来，无论在理论上还是在实用化上都有了很大发展，但正如其它直接法一样，PEBS法也有其局限性，如果故障点在发电机母线附近(或两机失稳模式)，求解比较准确；而在负荷中心(或多机失稳模式)，往往会引起多次振荡，从而产生误差。PEBS法虽然不需求解非线性方程,但在有些情况下(特别在多次摇摆的情况下)误差较大，而且没有在理论上得到解释。

文献[11]介绍了一种用于交直流系统的暂态能量函数，考虑直流动态的来确定极限切除时刻，并讨论如何应用PEBS方法求取极限切除时间。在暂态能量函数中高压直流输电交流母线上发电机角速度、转角和电压都是确定变量，在该方法中，通过做一些改进，被认为是慢动态的角速度和转角沿着持续故障曲线上积分，而直流动态的积分路径认为是快动态的。

1.1.3 BCU方法

1988年Chiang等人对PEBS法的理论基础进行了较深入的探讨，分析了PEBS法产生误差的原因和条件,并在1991年提出了BCU法。基于稳定域边界的主导不稳定平衡点法(Boundary of stability based Controlling UEP method，BCU)是电力系统暂态稳定分析中的重要方法，它借助势能界面(PEBS)来确定主导不稳定平衡点(CUEP)，并用CUEP处的暂态能量来确定故障后系统的临界能量[12]。此法基本上把PEBS法与UEP法结合起来，改善了UEP法的保守性，当然也改善了PEBS法的精度，但缺点仍然是必须求解一个非线性方程组，所以计算速度较慢。

BCU法以严格的理论分析为基础，因而受到普遍关注。但该法的部分理论前提无法直接检验。其中的单参数横截性条件是重要的理论前提，对单参数族而言，这不是一个具有通用性的条件[13]。

文献[14]突出了BCU方法中边界性质（boundary property）的重要性，它保证了原始模型的主导UEP和reduced-state 系统的主导UEP。以往的研究认为，只有参数化系统的单参数横断条件得到满足，才能通过收缩系统的UEP得到原系统的UEP。与之不同的是，该文章不再检查单参数横断条件，直接检查边界性质：UEP是否在原系统的稳定边界上。

通过采用自引能量函数和结构稳定去分析简单系统的边界性质，发现在某些温和的条件下，原系统和收缩系统在稳定边界上拥有相同的UEPs。结果表明，边界性质适用于满阻尼系统，不大使用于低阻尼系统。

文献[15]提出目前快速暂态稳定评估的研究发展方向是一种可靠的直接法和一种快速时域方法的结合方法，介绍了一种结合了BCU方法、BCU分类和BCU导向时域法的TEPCO-BCU方法，并对12000节点系统进行在线暂态稳定评估，结果表明得到较精确的能量裕度。

1.2 基于EEAC方法

EEAC的研究工作始于1986年初，E经历了SEEAC、DEEAC、IEEAC三个发展阶段。

EEAC成功的关键在于保持了原积分空间的完整性，仅把观察空间解偶为OMBI子系统，并保存了原多机动态过程的稳定特征。目前EEAC在经典模型下的计算精度、速度和可靠性己满足工程要求，并在国内外实际工程中得到应用。

EEAC理论证明了下述各点：1）建立在互补群相对运动和同群转角加权均值概念上的部分量中心（PCOI）映射保留了原多机系统的稳定特性；2）可以将等面积法则拓广到各个映像平面上具有时变特性的像OMBI系统，而求得后者的稳定极限条件；3）最严重的影响子系统的临界条件就是原多机系统的稳定极条件。这样就从理论上证明了在多机积分精度的含义上，EEAC是种不同于李雅普诺夫函数，但却非常严格的直接法。

文章[16]旨在改进传统迭代方法，提出了一种基于灵敏度的迭代方法来确定电力系统运行中多摇摆稳定极限分析。基于混合法的等面积法采用非单调主要参数；且更容易形成孤立稳定区域，即多机系统的一系列稳定区域夹在不稳定区域之间，而与其他稳定区域不相连，影响迭代算法的精度。

该方法的优势在于能充分考虑到复杂的现象（稳定裕度和孤立域），且尽量避免或克服。不同的OMIB-摇摆对应于不同的稳定域和不稳定域，以及不同的临界参数，通常。第一摇摆得到的稳定极限结果偏乐观。相比于第一摇摆稳定极限，随着参数增加的主要不稳定条件，多摇摆稳定极限更能准确的体现稳定程度。

对应于OMIB-摇摆最小临界参数的失稳模式（CM），定义为临界模式。也可定义为随着参数增加，系列TM中最早出现的失稳模式（UM）。TM表示轨迹模式，即为扩展主导OMIB考虑最危险的摇摆，用所有MOIB-摇摆的稳定边界的最小值作为系统的稳定裕度，该临界就是TM。

一般迭代法分两步：1）寻找具体某个OMIB-摇摆的边界参数；2）UM转换。缺陷：1）中在寻找过程中对初始参数依赖性大；2）中ISD(孤立稳定区)将CM的失稳区和目前的UM分隔，因此目前UM的临界参数对应于稳定轨迹，且UM转换在ISD的上边界终止，导致目前的UM被错误的当作CM，比实际的CM大，造成结果偏乐观。

改进迭代法：1）当在失稳轨迹上的线性估计无效时，稳定区域的信息作为补充的评估。稳定区域的参数作为初始参数的一部分。因此，存在两个搜索边界，稳定边界和不稳定边界。这两个边界定义的搜索空间用于检查线性估计是否正确。边界参数的评估不仅由不稳定轨迹的线性估计来决定，还由稳定轨迹的线性估计和切线估计决定。2）稳定区域严重干扰的OMIB-摇摆的稳定信息要完全考虑，以形成UM转换的新方法。

文献[17]考虑了安徽电网500kVLuohe-Yingzhou两线路末端发生永久性的三相接地故障，采用传统方法和EEAC理论分析安徽电网的不稳定机制。

1.3 混合法——发展趋势

直接法的研究不是孤立的，对属于直接法的各类方法，如PEBS法它的理论和概念与其它方法如相关UEP法、EEAC法往往互相补充、互相渗透。90年代出现的一个新趋势是将几种方法结合起来以便取长补短，充分发挥各种方法的优势。如文献[9]试图将EEAC法与PEBS法的优点结合起来,并用台湾系统进行了验证。

自90年代以来，能量函数法进入了实际应用阶段。RUEP法的实用化研究正在深入，已进入工程应用阶段。PEBS法与数值仿真相结合的方法已经在中国华中等电网得到了应用并发挥了重要作用。BCU法与数值仿真相结合的方法在美国Nohrtemstates电网得到了应用，进一步的理论研究和应用研究也在更加深入的进行。

各种直接法理论互相结合以及和数值仿真法相结合的新的“混合法”是当前暂态稳定分析研究的发展趋势。在线应用时，两者的配合应用，更能保证电力系统的安全可靠。

2 结语

电力系统暂态稳定的直接法发展至今已有几十年的历史，它不用求解微分方程，计算速度快，并能给出稳定裕度，很适合做在线动态安全分析，对电力系统运行帮助大。然而也正是直接法自身的特点，使其受到限制。

直接法对经典模型的适用性很好，可是对于复杂电力系统模型，如采用网络结构保持模型、计及负荷动态特性、采用高阶发电机模型并计及励磁系统动态等，并不是那么适用。可以进行研究以提高直接法的计算精度。此外，目前电力系统暂态稳定主要是指第一摇摆曲线的功角稳定，对于多摇摆稳定极限的求取还存在难度，这需要对直接法更深入的研究以及结合其他的方法。

电力系统暂态稳定分析的发展趋势是将直接法和时域仿真法很好的结合起来，应对不断复杂化的电力系统。利用时域法可以得到较精确的计算结果，然后利用直接法判断系统是否失稳，两者优势互补，开发出可以进行实时在线分析的直接法稳定分析软件。

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