自动饮料机销售的模拟与优化＊

彭金凤，孔云云，单婉晓，滕艳艳，翁克利，陈雪东

（湖州师范学院 理学院，浙江 湖州313000）

0 引言

随着移动商务的发展，自动售货机作为一种方便、直观的移动商务工具，开始在全球各地迅速普及和发展［3］.近年来，学校引进的自动饮料机也得到了学生们的广泛关注和喜爱，但观察发现，饮料机“售空”现象频繁，配送员只是随机放置饮料，而饮料机中饮料存储量的增大则会带来电能消耗增大等问题.

通过对自动饮料机的优化来改善上述现象.主要考虑学生对饮料的喜爱程度来解决饮料机中饮料的存放、存储问题，并设计最佳配送方案，以达到减少公司饮料成本的目的.首先利用统计软件整理分析调查问卷得到的数据，然后通过Multinomial Logistic过程［7］建立随机模拟模型，进而建立存储优化模型，使得商家在获益最大的情况下保证顾客在购买时都有足够的货源，最后以投入一枚硬币获得饮料的趣味性来提升销售量.

1 基本模型与研究假设

1.1 Multinomial Logistic及随机模拟理论

自动售货机饮料销售模型是一个随机动态模型，在处理此模型部分随机情况时采用Multinomial Logistic分析，随机销售量采用随机数产生法［9］，继而模仿出一周全校自动售货机的各种饮料销售量.

Multinomial Logistic过程是通过拟合一种广义的Logit模型（Generalized Logits Model）的方法来进行的.若应变量有K 个水平，则除对照水平外，以每一分类与对照水平作比较，拟合K 个广义Logit模型.例如结果变量有三个水平a、b、c，如果以a为参照水平，就可以得到Logistic函数，一个是b与a 相比，另一个是c与a 相比，

即

同时应当有：

1.2 自动饮料售货机存储量的模型理论

自动饮料售货机存储量的模型是一个目标优化模型，在处理此模型时，我们将比较单一目标函数和多目标最优化两种不同的方法.

解决多目标最优化的方法可分为三类：评价函数法、分层求解法、目标规划法.评价函数法（VMP）的基本思想是根据问题的特点和决策者的意图，构造一个把m个分量目标函数转化为一个数值目标函数——评价函数，然后对评价函数进行最优化，这样就可以把求解多目标最优化问题转化为求单目标最优化问题.构造评价函数通常使用α- 方法［1］求解，但当m ＞2时，用α-方法求出的权系数λi（i＝1，…，m）不能保证它们都非负，并且求λi（i＝1，…，m）时需要将所有的目标函数同一量纲化；分层求解法（LSP）是在约束条件下，各个分目标函数不是等同的被最优化，而是按不同的优先层次先后进行最优化.这种方法主要采用分层评价法［1］，确定各层次目标函数的可行域进行规划；目标规划法是希望在约束条件的限制下，每一个分目标都尽可能的接近于实现给定的各自对应的目标值.通过对比数据分析和这三种方法的条件来选择最贴合实际的方法代入统计数据.

1.3 研究假设

基于上述模型，建立如下假设：

（1）在一定时间内，每种饮料的进价和售价保持不变.

（2）在一定范围内，顾客对饮料的需求量在一个合理范围内波动.

2 模型的应用

2.1 调查问卷的结果分析

由于对各种类型饮料机熟知程度的局限性，笔者只针对所在学校的自动饮料机做模型分析与研究.在研究初期，通过设计调查问卷更好地获得有价值的信息.为了更清楚地了解数据所蕴含的规律，利用SPSS软件对每一数据进行描述性研究、关系性研究和解释性研究，以具体反映出被调查者对饮料机里各种饮料的喜爱程度，为后面模型的建立和求解奠定基础.其中值得注意的是，有的人遇到过饮料机中饮料售空的情况，这也说明该研究是非常有必要的.

2.2 Multinomial Logistic过程及随机模拟

由于建立该模型需要变量，故作如下假设：

（1）x1为男女生所对的二维向量（男（1，0），女（0，1））；

（2）x2为周消费水平向量（如答卷上选B得到向量）；

（3）k（i）为第i种饮料在全校一周内的模拟销售数量.

2.2.1 Multinomial Logistic过程

利用Multinomial Logistic过程考虑不同人的因素对是否购买饮料的概率进行评估，以被调查者有没有买过饮料为参照，以被调查者的性别和周消费为变量，然后利用SPSS编程得到模型：

将上式做等价变换，得：

2.2.2 饮料消费情况随机模拟

根据图1，假定男女学生各占一半，利用问卷调查的数据建立离散概率模型，利用Matlab［8，11］通过随机模拟的过程得到变量x1、x2，之后调用函数：

得到在不考虑售货机缺货的情况下，各种饮料在全校所有售货机上一周的模拟销售率：c＝［0.1384、0.0546、0.0581、0.0435、0.0244、0.0236、0.0275、0.0980、0.0553、0.0530、0.0276、0.0499、0.0224、0.0581、0.0152、0.0109、0.0123、0.0230、0.0421］，模拟销售量k与实际销售量大相径庭，但往往都比模拟销售量偏小，因此可以作为之后LINGO 编程的目标条件.

2.3 全校自动售货机饮料存储量模型

由调查知，湖师院共有自动饮料机15台，每台饮料机的存储量为400瓶，每个货窗摆放的饮料最多为16瓶.而要建立该模型需要变量，故作如下假设：

（1）xi为实际销售量；

（2）bi为利润；

（3）ki为随机模拟出n ＝10000人的模拟售货量；

（4）yi为第i种饮料的存储量，即是16的倍数；

（5）gi为各饮料的喜爱程度概率.

2.3.1 存储优化模型

针对自动饮料售货机中的饮料瓶数安置方案的设计，使饮料机售货的利润最大.结合随机模拟得出全校10000人经过售货机时每种饮料的总销售量（n＝10000＊由随机模拟得到的每种饮料的销售率）：k ＝［1384、546、581、435、244、236、275、980、553、530、276、499、224、581、152、109、123、230、421］作为对实际销售量的约束条件，采用如下方案通过LINGO 进行优化.

目标函数：

图1 饮料消费随机模型

需求约束：

根据上述式子由LINGO 编写程序得出饮料存储量的值，并画出图2.如图2所示，第1种、第6种和第12种饮料的存储量为0，这与实际问卷调查中各饮料的喜爱程度相矛盾.查看本模型的目标函数可做如下解释：由于目标函数是利润最大，但如矿泉水等薄利的饮料与利润最大相矛盾，由此会解得它们的值为0，因此根据单一的目标函数求解的值不准确.因而我们采取双目标函数进行求解，增加销售量达到最大值这一目标函数，建立改进模型.

2.3.2 改进的存储优化模型

目标函数：

图2 饮料消费随机模型储量模型

通过对改进模型的目标函数结合多目标最优化方法［6］分析可知，由于本模型的两个目标函数不存在数量关系，无法进行同一量纲化，因此不选用评价函数（VMP）方法；对于改进模型来说，由于涉及的数据容量没能达到目标规划法的要求，因此不采用这种方法.综合以上所述目标函数应采取分层求解法［1］.

首先，进行第一层次的最优化，求解目标函数（1）的可行域.

需求约束：

新添加的约束条件为：

由程序 得出xi的 值为：X1i＝［960、544、448、336、176、144、160、640、432、400、192、336、144、400、112、64、32、192、288］.

3 模型分析与检验

3.1 随机模拟的图形分析［10］

在得到随机模拟数据后，通过控制不同的变量，利用Multinomial Logistic过程算出路人是否购买饮料的概率，进而与实际数据图形相比较，揭示出数据间的内部规律.

3.1.1 以性别和周消费为双参数变量下实际饮料售货量与模拟售货量的比较

从图5、图6可以看出，模拟出来的情况较为吻合，说明性别和周消费对是否购买饮料有较大且较直接的影响，因此合理配置男、女生宿舍楼下和教学区的饮料种类有助于提高经济效益.

3.1.2 周消费单参数作用下实际饮料售货量与模拟售货量的比较

在考虑性别相同的情况下，男生和女生对饮料喜爱程度的模拟与实际比较，从图7～10可看出，周消费水平的不同对女生购买力和购买饮料的种类的影响比较大，因为模拟出来的图形与实际图形较吻合.但周消费水平的不同对男生的购买力没有产生很大的影响，因此可在女生楼下的饮料机里偏多地放置几种女生偏爱且价格适中的饮料，如：果粒橙、雪碧等，而在男生宿舍偏多的地方放置男生比较喜爱的饮料，如：矿泉水、雪碧、可乐等，这里无需过多考虑饮料的价格问题.

3.1.3 性别单参数作用下实际饮料售货量与模拟售货量的比较

图5 模拟男女买饮料的数据图形

图6 实际男女买饮料的数据图形

图7 模拟女生饮料喜爱

图8 实际女生饮料喜爱

图9 模拟男生饮料喜爱

图爱喜 实际男生饮料喜爱

在考虑饮料周消费相同的情况下，不同的周消费饮料的模拟销售量与实际比较，从图11～18可看出，周消费在5～10元和20元以上时，用男女变量模拟出来的销售量与实际销售量走势虽然大体一致，但在数量上有一定差距，说明此消费段饮料的销售量不仅受到性别的影响，还受到其他因素的影响.如周消费在5～10元时，产生差别的原因可能是缺货时不愿买其他种类的饮料所致.周消费在20元以上时，产生差别的原因可能是开始处理问卷中多项选择题时所产生的偏差.周消费在5元以下和20元以上，模拟的销售量与实际消售量很吻合，这说明在此消费段的群体受到性别影响较大.

3.2 存储优化改进模型的r值稳定性检验

对LINGO 的整数性函数规划进行敏感性分析，由于LINGO 中不能直接进行敏感性分析.因此，通过改变约束条件中不同的数值进行手动分析，从结果中可以得到如下规律（如图19所示）：

（1）分别对改进模型的第7个约束条件yi－xi＜r中的r 值变化进行LINGO 结果分析.当整数r在［5，16］间变化时，目标函数值最大利润值max＝9910.400不随r的变化而变化.

图11 模拟周饮料消费5元以1的人

图12 实际周饮料消费5元以1的人

图13 模拟周饮料5元到10元的人

图14 实际周饮料5元到10元的人

图15 模拟周饮料消费10元到20元的人

图16 实际周饮料消费10元到20元的人

图17 模拟周饮料消费20元以0的人

图18 实际周饮料消费20元以0的人

（2）当r发生改变（r＝5，9，13，16）时，由Matlab描绘yi随r的变化趋势图可知基本符合.因此可以说明数据的合理性.

（3）当r值在一定范围内变化时，改进模型的目标函数没有变化，可得出自动饮料售货机中的饮料瓶数在这一范围内是稳定不变的，具有实用性.

图19 改进的存储优化模型不同r值饮料存储量1定性

4 模型的创新［4，5］

受到如彩票等随机性实例的启发，我们设想把自动饮料售货机通过编程，改良成具有游戏色彩的饮料机，而所要达到的效果是顾客往饮料机投入一枚硬币来启动整套流程，通过饮料机的随机性，选取可以让顾客得到一瓶饮料，这瓶饮料的实际价格可能小于一元也可能大于一元，从而来增加趣味性.由我们调查问卷得到的数据显示，接近有75%的被调查者对我们的这一设想感兴趣，从而更激发了我们往这方面研究的欲望.然而，这样的趣味游戏饮料机必须要在保证商家在获利的前提下能吸引更多的顾客，现如今我们的消费水平不断上升，如果一元无法实现，那么可以改成两元甚至三元，而要完成这一设想需要做大量的市场调查和模拟运行.我们现在无法真正让这一设想得以实现，只在此作一畅想，今后会努力往这方面前进，也希望更多的学者和技术人员能对此有所研究.

5 结语

我们的模型可以结合实际情况设计出全校每台饮料售货机上摆放各种饮料的合理瓶数.经过存储优化后的自动饮料售货机，对消费者来说遇到售空情况的概率会降低，且存放的饮料更合理；对商家而言，合理地分配饮料存放不会导致空间的浪费，又可以促进消费，从而达到利益最大化.由于数据的局限性，模型最后得到的结果虽然只适用于湖州师范学院，但模型的应用性是广泛的，如果有能力获得有效的数据，只要我们改变初值及条件就可以得到其他地区的饮料机甚至市场上已有售货机的合理优化策略.因此我们的模型对想要利益最大化的商家来说，是极有价值的.

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