一维方势阱的扩展性讨论及应用

胡一帆

(华中科技大学物理学院 湖北 武汉 430074)

1 引言

有关方形势阱、半导体能带理论和激光器的基本原理在理工科的大学物理课程里都有简单的介绍[1]，但由于篇幅和课时的限制，学生很难深入了解方量子力学的实际应用价值，不可能理解势阱这个物理模型与新型半导体元件(如超晶格类的元器件等)和半导体激光器之间的联系．为了使学生对所学知识能够融会贯通，更好地扩展他们的视野，而不是仅仅获得一些支离破碎的脱离实际的肤浅知识.

本文从求解一维方形势阱的薛定谔方程出发，介绍了单量子阱、超晶格、半导体激光器的基本的理论框架和实际应用．其目的是在条件容许的情况下，引导那些学有余力和对现代物理学特别感兴趣的同学进行扩展性学习和讨论．

2 有限深方势量子阱与多量子阱

图1 有限深方形势阱及其波函数

有限深方形势阱与无限深势阱的主要不同之处在于它的波函数并不仅仅局限于势阱内部，在隧道效应的作用下，有一部分波函数是可以存在于势阱两边的势垒之中的(图1)．

这时的薛定谔方程为

(1)

由此方程可以求出在两侧势垒区域内的波函数为[2]

(2)

图2 由双层异质结所形成的量子阱

如果A，B两种材料依次重复，就形成多量子阱见图2(b)．在这一种类型的多量子阱中，电子和空穴同时被限制在同一种势阱材料A之中，它们的波函数是被分割在各个彼此孤立的势阱中被局域化的．当然，此时能量也是量子化的，形成了分立的能级．而多量子阱模型是超晶格子能带理论的基础[4]．当图2(b)中作为势垒的B材料厚度也非常薄，薄到公式(2)中的波函数可以延伸到相邻的势阱中的时候，即不同势阱中波函数可以借助隧道效应彼此耦合时，波函数开始交叠，与波函数相对应的各个子能级开始分裂，从而形成微能带．这种结构就被称之为超晶格．

图3 超晶格中的微能带, 本图上部显示由AB相间的两种材料导带底部对电子形成势阱，被称为n型势阱，本图下部显示由两种材料价带顶部对空穴形成势阱，被称p型势阱

3 量子阱和超晶格的物理效应

3.1 量子跃迁

这些存在于量子阱之中的子能级或子能带之间同样会产生受激辐射和受激跃迁，其辐射频率取决于这些子能级的结构．而这些量子阱结构的子能级的级差，微能带宽度和带隙可以通过改变势阱的深度和势垒厚度来调节．当一个光子入射到势阱区域中可以发生不同能级之间或不同微能带之间的受激跃迁．因此人们可以根据需要，通过制作不同的单量子阱或超晶格来获得频率的光源，包括紫外、可见光或红外等．例如在制作用于光纤通讯的光源时，需要的是波长在10 μm量级的红外波，与此对应的大约是0.1 eV跃迁能量，这种跃迁发生在n型势阱之中．利用这种类型的量子阱或超晶格的吸收光子效应还可以制作红外探测器[如图4(a)]．波长更短的光发射与吸收，也可通过如图4(b)中所显示的发生在n型势阱和p型势阱之间的跃迁来获得[5]．

图4 量子阱中子能级之间的受激跃迁

3.2 激子效应

仅仅有了受激吸收和受激辐射还不能产生激光，还必须实现粒子数反转和建造谐振腔．对于某些材料的量子阱来说，电子在高能级上的寿命非常长，例如利用GaAs/AlGaAs异质节所形成的量子阱的高能级寿命就特别长．需要指出的是，在反应电子和空穴能级结构的图4中，纵坐标是能量，横坐标是空间坐标，如果n型势阱和p型势阱上下对齐，也就是说它们同处在一个空间区域内．发生受激吸收后上下对齐的量子阱把电子与空穴局限在一个很薄的近似二维的区域里，这时电子与空穴就会相遇并生成二维激子(2-D exciton)，也就是二维空间内的电子-空穴对．理论研究表明[6]： 2-D 量子阱的二维激子 束缚能比 3-D 体材料激子束缚能高3倍, 可以承受更高的干扰，维持长寿命，因此更易实现粒子数反转．实际上量子器件的维度越低，对电子和空穴的限制就越强，也就越容易提高该量子器件的效率．根据这个思路，一维的量子线材料、零维的量子点材料(如图5所示)和与这些材料为基础的新型量子器件应运而生．

图5 低维度量子材料

实现粒子数反转后，下一步就是如何建造谐振腔了．这可以利用某些半导体晶体材料的解理面来实现．解里面对电磁波本身就具有反射作用，只要适当选择解里面进行涂覆就可形成如谐振腔[7]．一个典型的半导体激光器如图6所示．由超晶格组成的半导体激光器可发射中远波段的激光，功率可达10 mW，足以满足远距离光纤通讯．

图6 典型的半导体激光器结构图

3.3 量子斯塔克效应

单量子阱制作的激光器如果功率不够，还可以利用超晶格结构来制作级联激光器．其原理是量子斯塔克效应．当无外场时，无论是电子的波函数还是空穴的波函数都位于势阱的中心位置．因而电子和空穴都有较大跃迁几率．然而，当对量子阱施加一外场时，由于电子逆电场而动，空穴顺电场而动，从而使二者的波函数不再处于势阱的中心位置，而是发生了一定程度的空间偏离．与此同时整个超晶格多势阱结构在电场的作用下会发生如图7所示倾斜．这种倾斜使得导带与价带能量间隔变窄，因而电子和空穴的跃迁几率减小，其发光波长向波长方向移动．这时虽然单个量子阱跃迁几率减小，但是倾斜也导致光子可在超晶格结构多个量子阱逐级激发，形成如图7所示类似雪崩现象的级联效应，从而使由超晶格组成的半导体激光器可发射中远波段的激光，且效率增加，其功率可达10 mW，足以满足远距离光纤通讯[8]．

图7 光子在超晶格结构中的级联效应

4 结论

大学物理教学的一个重要任务是着重培养学生独立思考的能力，以及把所学知识串联起来获取各个知识点相互之间的内在联系的综合分析能力．本文以方形势阱为例，将有关量子力学、半导体和激光等内容的理论和实际应用结合起来进行扩展讨论，是使学生全面地、融会贯通地理解和掌握相关知识的一个很好的尝试，并且在实际教学中取得了很好的效果．

参考文献

1 程守洙，江之永.普通物理学.北京：高等教育出版社，2006

2 D·特哈尔.量子力学习题集.北京：人民教育出版社，1965

3 J. P. Colinge.Physics of Semiconductor devices.Kluwer Academic Publishers, 1999

4 John.H.Davies The physics of low-dimensional semiconductors. Cambridge Press, 1998

5 R．F．Kazarinov，R．A．Suris.“possibility of the amplification of electromagnetic waves in a semiconductor with a supperlattice，”Soviet. Phys．Semiconductors，1971(5)：707～709

6 Paul Harrison.“Quantum Wells, Wires and Dots”.Wiley， 2010

7 J．G Kim，L Shterengas et a1．, “Room-temperatre 2.5 μm GaInAsSb/AlInAsSb diode lasers emitting lW continuous waves，”Appl．Phys．Lett．2002，81：2016～2019

8 J．Faist，F．Capasso，D.L.Sivco，C．Sirtori,A．L．Hutchinson, and A．Y Cho，‘'Quantum cascade 1aser”, Science，1994，264：553