教学中物理学与数学的关系

王学文 何乐康 曹小芳 娄青青 曹晶

(湖南科技大学物理与电子科学学院 湖南 湘潭 411201)

在多年教学经历中，笔者深深地体会到很多学生物理学习得很努力，但物理成绩始终难以提高，原因是受到了他们的数学水平的制约．很多物理问题的解决都是用数学方法，是他们的数学水平严重影响了他们的物理水平；还有的学生数学水平还可以，但是由于不能灵活地把数学知识学以致用地用到物理问题中来，所以解决物理问题的水平也不高；而那些善于运用数学手段分析解决物理问题的学生却学得轻松自如．能把物理问题驾驭得很好的原因除了他们对物理知识的深刻理解外，更重要的是他们对物理与数学有清晰而正确的认识．为此我们需要重新审视我们正在学习和运用的物理学与数学．

1 数学的基本特点

在学习、工作和生活的经历中我们已察觉到数学具有这样的特点.

第一是数学的抽象性．其抽象性在简单的计算中就已经表现出来．我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来，我们在学校里学的是抽象的乘法表——总是数字的乘法表，而不是人数乘上梨的数目，或者是梨的数目乘上梨的价格等．同样在几何中研究的，例如是直线而不是拉紧了的绳子，并且在几何线的概念中舍弃了所有性质，只留下在一定方向上的伸长．总之，关于几何图形的概念是舍弃了现实对象的所有性质，只留下其空间形式和大小的结论，全部数学都具有这种抽象的特征．数学在它抽象方面的特点还在于：

(1)在数学抽象中首先保留量的关系和空间形式而舍弃其他一切．

(2)数学的抽象是经过一系列阶段而产生的．它们达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象．

第二是数学的精确性或者更好地说是逻辑的严格性以及结论的正确性．数学推理的进行具有这样的精密性，这种推理对于只要懂得它的每个人来说，都是无可争辩和确定无疑的．数学证明的这种精密性和确定性，在中学的课本中就已懂得了．数学真理本身也是完全不容争辩的．

第三是数学应用的极端广泛性．数学应用非常广泛也是它的特点之一．

(1)我们经常地、几乎每时每刻地在生产、生活中运用着最普通的数学概念和结论，然而并不意识到这一点．

(2)如果没有数学，全部现代技术的产生和应用都是不可能的．

(3)几乎所有的科学部门都在多多少少地利用着数学．

太阳系的八大行星之一的海王星是在用数学计算的基础上被发现的；英国物理学家麦克斯韦概括了由实验建立起来的电磁现象规律，把这些规律表述为方程形式．他运用纯数学的方法从这些方程中推导出可能存在着电磁波，并且这种电磁波应该以光速传播着．根据这一点，他提出了光的电磁理论，这一理论后来被全面地发展和论证了．

2 物理学的基本特点

(1)物理学是一门实验和科学思维相结合的科学．实验是物理学的基础，科学思维是物理学的生命．在物理学中，概念的形成、规律的发现和理论的建立都有坚实的基础．

(2)物理学也是一门严密的理论科学．物理学是以基本概念和基本规律为主干而构成一个完整的体系，其中基本概念、基本规律是中心，基本方法是纽带．

(3)物理学又是一门精密的定量科学．自从伽利略开创了把观察、实验、抽象思维同数学方法相结合的研究途径之后，物理学就迅速地发展成为一门精密的定量科学．

在物理学中，许多物理概念和物理规律具有定量的含义；物理学中的基本定律和公式都是运用数学的语言予以精确表达的．此外，数学方法还是物理学研究的推理论证的工具和手段．物理学与数学有着密切的关系，物理学的研究离不开数学这一有效的工具和手段，而数学的发展也依赖物理学这块肥沃的土壤．许多物理问题需要运用数学知识来求解，当然，同时也有一些数学问题需要借助物理原理进行求解．物理学与数学无论在形式、内容和方法等方面都具有互补性．

3 求解物理问题的认知特点与认知过程

学生在学习物理过程中常常对求解物理问题感到困难，其原因往往是他们习惯于用学习概念、规律的认识方式来求解物理问题，未能突出求解物理问题的认知特点的缘故．从认知的角度考察，求解物理问题具有自身的认知特点.

(1)在新情境中推广、应用物理知识．物理概念、规律学习是在典型的情境中对物理知识进行理解，求解物理问题是在各种新的情境中推广、应用物理知识．学生常常由于对引入或说明概念、规律的典型情境十分熟悉，而产生一种思维定势，对题目给的新情境不能很快适应或错误地把新情境按原来的典型情境加以处理．

(2)需要较为复杂的逻辑判断．物理概念、规律的学习在进行的逻辑推理和判断时比较简明直接，而求解物理问题却需要较为复杂的逻辑判断．在概念、规律教学中，教师为了使学生易于理解，充分利用学生原有知识和经验，引导学生进行的讨论一般都直接指向将要得出的结论．学生往往感到这种为得出结论而进行的逻辑推理和判断是思维的自然进程．当学生自己去解决问题时，问题的结论一般不是容易直接就能看出来的，而是需要学生进行复杂的逻辑推理，对问题的进行方向独立地做出判断．

求解物理问题的认知过程，是把与具体环境问题有关的信息和学生头脑中已有知识经验相联系的过程．这个过程可以描绘成如图1所示.

图1 求解物理问题认知过程

从上面的方框图可以看出，求解物理问题有两个重要的信息变化环节：识别现象和运用规律．

(1)识别现象．感知问题后，学生头脑中首先进行抽象思维，要识别这是什么物理现象？应该属于哪一类物理问题？在这里，事物的非物理学属性被抛弃，物理学的属性被抽象出来了，这种抽象的结果便把实际问题转化成物理模型．

(2)运用规律．在认识到要求解的物理问题及所建立的物理模型的基础之后，就触发了一系列的解题思维活动，利用相应的规律列出有关的方程式．此后物理问题就转化为数学问题了.这是另一个重要的信息变化环节．以后的运算虽然还受物理条件制约，但主要受数学规律支配，是关于问题的量的讨论．

4 数学知识在物理问题求解中的功能

数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科．任何事物都有一定的量，原则上都可以作为数学研究的对象．物理学是一门精确定量的科学，它与数学的关系最为密切．在解决物理问题时，不仅要有定性的分析，更要得出定量的结果．解答物理问题离不开数学知识，数学知识的运用是物理解题的一个不可缺少的内在因素．数学知识在物理解题中的主要功能可以概括为以下几个方面．

4.1 物理问题一般要转化为数学问题

在把物理问题向数学问题转化的过程中，除了选择合适的物理学方法，还要灵活地运用数学知识．至于数学问题推理计算求出结果的过程，更加明显地说明它是一个数学过程．可见，凡是需要定量分析的物理问题，数学的运用是必不可少的．

4.2 数学是描述物理问题的语言

物理学中的数学与纯数学的差异是由两门学科各自的特点决定的．数学具有高度的符号化、抽象化、形式化、逻辑化、简单化的特点．客观世界中的任何形式和关系，只要它们能够抽象出来，并用一定的方式表达，即成为数学的研究对象，因此，数学具有广泛的适用性，不承载任何真实的物理意义．物理学是研究物质的基本结构、基本相互作用和基本运动规律的学科，它以实验为基础，以数学为思维语言和推理、计算工具来描述物理现象，揭示物理规律，所以物理学中的数学是生动和具体的，符号是联系数学与物理学之间的基本要素．

把物理问题转化为数学问题就是为物理问题寻找一个相应的数学模型，以数学为语言表达出物理量之间的相互关系，其一般步骤为：

(1)利用数学语言丰富、深化物理模型．如运用已知数据进行简化处理，进行物理过程的定量分析等．通过找出数量关系，给物理模型加入定量的因素．

一旦波形确定,s和s′是可以提前求得的,这里认为其是常数。以下是具体的估计过程,首先由于s远大于s′Δt1和v,可以先得到α1的粗估计,

(2)用符号来表示物理量．符号是物理内容的载体，它把复杂的事物代码化，可以一目了然地加以把握感知对象．

(3)根据物理规律列出问题中物理量间的关系，最后把物理问题转化为数学问题，实现了物理过程的数学化．

4.3 数学是推理计算的工具

列出物理量间的关系式之后，下面的任务就是采用最好的方法，准确地求出结果．这就要求善于利用一切学过的数学知识，灵活地求解问题．应该注意运算的技巧，尽量简化运算的程序．有的学生在理解题意，分析过程中花了很多精力，因而在求解运算过程中就不愿多动脑筋了，一味采用最基本的代入消元法或一开始就代入数值进行繁杂的数值运算．其实，好的数学技巧一旦找到，计算时间就会大大减少．

5 物理解题与数学运算的区别

虽然物理和数学的关系十分密切，物理解题离不开数学，但是，物理解题与数学运算还是有本质区别的．物理是以实验为基础的，它具有质和量的统一性；而数学研究的是事物共有的数量关系和空间形式，它抛开了其他具体内容．因此，在把数学知识用于物理解题时，其适应范围要受到物理规律的制约，不能用数学方法代替物理概念．许多中学生乱套公式，一个很重要的原因就是按解数学题的习惯来解物理题．物理解题与数学运算的显著区别具体表现在：它们在建立各自的模型中所进行的科学抽象不同，它们在解决实际问题时所进行的近似处理不同，它们在论证推理中所用的归纳方法不同，它们对得出结果的解释不同．

5.1 数学抽象与物理抽象

数学抽象和物理抽象有着密切的关系．经过数学抽象建立的数学模型与经过物理抽象建立的物理模型之间有着不可分割的内在联系．数学上有几何点的模型，物理上有质点、点光源、点电荷等模型；数学上有线的概念，物理上有光线、电场线、磁感线等模型；数学上有面的概念，物理上就有面电荷、等势面等模型．

数学抽象和物理抽象有着本质上的区别．数学抽象是高度、严密的抽象，它仅保留了量的关系和空间形式而放弃了一般的具体现象；而物理抽象则没有数学抽象那样的高度和严格，仍然具有若干物理实体的共同特征，而且物理抽象是有条件的，它随着具体问题的不同而发生变化．数学模型高度抽象的共性与物理模型一般抽象的特殊性、数学模型高度的思辨性与物理模型的实践性、数学模型广泛的适用性与物理模型具体的局限性都是它们本质属性不同的根本表现．比如说数学中的点，只表示空间的一个位置，它的其他物质属性都不存在了．与此相应的物理中的质点，虽然也是一种抽象，但它的抽象程度不如数学中的抽象程度高，它没有大小，但具有质量，而且一个实际物体能否抽象为质点也是相对的．在解物理题时，要注意两种抽象的区别，不要用数学抽象局限或代替物理抽象．

5.2 数学近似和物理近似

5.3 数学归纳法和物理归纳法

数学归纳法是极其严格的，它通过一次或几次验证加一次推理来完成．用数学归纳法来证明一个命题成立是天衣无缝的．而物理归纳法则不然，它通过多次(但是有限次)实验来归纳出物理规律．物理归纳法不可能像数学归纳法那样严密推证、天衣无缝，而是存在漏洞．不过，用物理归纳法得出的结论是以实践来验证的．一旦实验发现结论与实验不符，该结论就被否定．

5.4 物理解和数学解

经过数学推理计算得出的物理问题的结果应当受到物理规律的制约，有时得到的结果在数学上看是完全正确的，但在物理上是错误的．这就是说，数学解不等于物理解．用数学知识求出结果后，应当用物理规律衡量其是否有实际意义．如果结果只在数学上有意义而在物理上没有意义，说明在前面识别物理现象和分析物理过程的环节上存在错误，应重新加以考虑并建立起正确的数学方程式．

总之，数学既是进行辩证思维的有利工具，又是表达辩证思想的科学语言和逻辑形式．因此，从学习物理基础知识开始，就要注意如何应用数学方法解决物理问题．不论是物理实验中的测量和计算，还是概念的定义、定律的表达、习题的答解等，都要注意正确的运用数学方法．要把培养学生运用数学方法解决物理问题的能力作为物理教学的一个重要课题．

参考文献

1 祝道福，郭铨.中学物理中的数学方法.哈尔滨：黑龙江教育出版社，1991

2 施良方.学生认知与优化教学.北京：中国科学技术出版社，1991

3 乔际平,梁树森,等.中学物理习题教学研究.北京：北京师范学院出版社，1993