小波分析在地震工程中的应用

郑永阳

（南昌市城市规划设计研究总院，江西南昌 330038）

0 引言

在地震工程中经常会碰到非稳态的信号，传统的傅里叶分析不能在非稳态过程分析中保留时间信息，也不能描述出时域及频域局部性的谱进化的特征。因为将信号在整个时域中平均化了，所以谱分析不能描述非稳态信号的局部瞬时特征。例如：一个线性系统受到一个单位幅度白噪音作用和一个冲击作用有着相同谱特征的反映，尽管两种作用在时域上完全不同。利用傅里叶变换不能同时获得高分辨率的时域和频域信息，如果能够使时间和频率分辨率可以在时-频平面上变化从而达到代表这个过程的多分辨率效果，那么这个缺点就得到抑制。相应地，时-频窗口能够自动变窄以获得信号的高频内容，以及变宽以获得低频内容。如果这个分析通过由有相对恒定带宽的频通滤波器组成的滤波器组来进行的话，就变成了可能。傅里叶方法是利用有限个正弦函数及余弦函数作为基函数来分解信号，而小波变换是利用一组局部化的正交基函数。在傅里叶变换代表式中，因为将谱信息平均化了，一个持续时间较短而频率较高的内容将埋没，而利用小波变换将通过多分辨率分析一个过程的方法保留局部瞬时信号特征，这是利用有限个正弦波基函数无法做到的。

利用小波变换分析数学信号，首先要产生一个母小波函数，然后将信号分解为由该母小波函数经过放大和移动的一组有限长度的基函数组，即在时间或空间上不同尺度和位置的小波。这个过程与傅里叶分析很相似，即母小波相当于正弦波，而在傅里叶分解中基函数为正弦函数变换的不同幅值、相位和频率的正弦波。

1 小波分析应用

目前研究主要是利用小波进行非稳态数据的分析和模拟，利用小波分析的多尺度分解过程能够揭露隐藏在原时间历程中的信息，通过多种技术，利用小波系数得出有用的信号信息。小波系数同样给出了量表图。量表图可以在时间-尺度域中得出信号能量，它有助于定义出随时间变化的能量流量、谱演变，以及利用时域或频域方法都不能很好地应用于信号的重建和模拟。通过改变小波系数低于一个特定的阈值可以减少获得信号的噪音。在这里将提供一些方法来说明在地震工程的中小波分析应用。

小波变换是通过一系列的小波方程代表被分析的信号的好坏的一个过程。用方程代表信号的好坏程度可通过小波系数看出。系数组的结果由两个独立的变量联系在一起，即膨胀系数和变换系数。变换系数代表了时间，而尺度反映了频率的内容，大的尺度对应低的频率。

2 小波滤波器组信号分解

离散小波变换是一种方便而有效的监测随时间变化的动态系统的方法。傅里叶系数不含时间信息，而这些描述局部化的基函数的小波系数能够反映出时间信息。过滤掉时间系列的倍频器组及其小波域值和小波系数均能提供对瞬时信号的唯一分解。小波系数在特殊的倍频程可能同样被用于监测系统的行为，在小波域中发生的大幅度系数可能被用于识别一些孤立的冲击事件，例如一个构筑物受到冲击荷载。

3 功率谱密度计算

通过计算每个倍频程的小波系数的平方和来得到谱密度。在紧支撑的离散小波转换中，对于一个在整个频率范围内长度为2M的信号的谱的小波计算是由一个长度为M的向量组成的。这个频率带的采样率是以Δt的时间间隔得出的，并且对于第i个层次上来说，谱的计算公式为：

对应于Si的频率带Di为：

在两个过程的同谱计算中，同样可以用两个过程的系数积代替小波系数平方和而得到。

在离散小波转换谱计算中能量非常接近实际信号的能量，但相对快速傅里叶转换方法，特别是在高频率范围内缺少分辨率的适应能力。而当可以将连续小波变换用于更高的分辨率时，这个离散小波的问题将通过使用一个基于原母小波的稍微扩大的原型小波而克服。具体做法是用：2i+p/Pψ·[2i+p/P（n-j2i）]代替2iψ（2in-j），P是倍频程计算的期望值，而p=0,1...P-1。于是离散小波变换将运行P次，从p为0到P-1.利用这个网格，它比倍频程网格更稠密，就等同于ai,j系数的超采样。

另一个选项是对倍频程带通数据的标准缩放技术的应用，高通滤过程被循序地转换成低频率，而进一步的离散小波变换可以在这些缩放的数据上基于较低的倍频程分辨出更多的细节。这个方法类似于另一种被称作小波包分析的技术。离散小波转换是由一系列高通滤和低通滤组成的，在这个系列中每一个低通滤是由前一次的滤波得到的，而高通滤得到小波系数。小波包分析渐近地过滤之前的低通滤结果，同时还要过滤利用离散小波转换遗留下来的高通滤数据，而不是利用高通滤结果去得到系数。通过离散小波转换得到的倍频带数据被小波包进一步分成了子倍频程。

4 场地振动分析

地震记录的时间相关频率内容提供了振动的非稳态谱特征值，即频率相关的场地振动时间、超过一定阈值的时间、间隔时间、波形持续时间，以及计算信号灯的能量。研究者利用一种多重过滤的方法来对非稳态的场地振动记录进行时-频分析，就像前面所说的一样，由于傅里叶变换有固定的时-频关系，因此它也有缺点。利用小波分析将提高分辨率，因而使得基于小波的方法将成为地震记录的时-频分析的一个可选择工具。通过小波分析可能使得对地震事件更深的理解。因为利用变化的频率来分析一个较宽领域记录显得更为方便。

能够同时保留时间和频率信息使得小波分析成为非稳态信号模拟的有用工具。这个可以通过母非稳态信号、目标谱函数和调制器函数来分析每个倍频程。考虑一个母非稳态信号，例如一个地震记录，一个信号的全过程可以被模拟，而它的平均值非常类似那些母过程。

5 降噪

信号中小细节在小波转换中表现为小幅值系数，这些低能量过程可能扭曲真实的信号。如果它们确定是由噪音产生的，可通过在小波域中消除一个幅值以下的系数来实现降噪。然后通过逆小波转换还原一个“干净的”或降噪的信号，一个在原始信号中没有噪音的信号。

对于定性分析，阈值迭代增长将使信号清除到一个想要的水平，但所有的噪音降低方法都有一个同样的问题，即消除噪音和删除重要的低能量信息之间所做的权衡不可避免。

6 结论

由于传统分析工具的限制，量化和模拟非稳态信号的过程显得难于处理。例如地震记录中的非稳态过程的分析和模拟通过离散小波转换和连续小波转换将它们分解为局部化基函数。随着许多专业的越来越多的研究者发现他们专业有用的应用，小波转换越来越广受欢迎。本文简要地介绍小波转换，并给出了在地震分析中应用。

[1]徐长发,李国宽.实用小波分析[M].北京：华中科技大学出版社，2009.

[2]刘明才.小波分析及其应用[M].北京：清华大学出版社，2005.

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