圆锥曲线部分高考备考要点

　　圆锥曲线部分是高中数学的重要部分，在高考中占有重要的位置.圆锥曲线部分的特点是思维容量大、运算量大，所以作为解答题，一般会出现在第21、22题的位置，属于中高档题；作为选择填空题，通常考查圆锥曲线的几何性质，属于中低档题.
　　那么，如何复习备考圆锥曲线部分呢？我认为应注意以下几点.
　　一、重视圆锥曲线的基本概念和几何性质
　　圆锥曲线的定义本身就是解题的重要方法，要注意定义的运用.比如椭圆的定义：平面内到两定点F、F的距离之和等于常数2a（大于|FF|）的点的轨迹是椭圆.对于它的定义我们要从两个方面来理解：一是如果有一个点P满足|PF|+|PF|=2a（大于|FF|），则点P的轨迹是椭圆；二是如果点P是椭圆上的一点，则它到两焦点的距离等于2a.举例如下.
　　例1：一动圆与已知圆O：（x+3）+y=1外切，与圆O：（x—3）+y=81内切，试求动圆圆心的轨迹方程.
　　解：两定圆的圆心和半径分别为O（—3，0），r=1；
　　O（3，0），r=9.设动圆圆心为M（x，y），半径为R，
　　则由题设条件可得|MO|=1+R，|MO|=9—R.∴|MO|+|MO|=10.
　　由椭圆的定义知：M在以O、O为焦点的椭圆上，且a=5，c=3.
　　∴b=a—c=25—9=16，故动圆圆心的轨迹方程为+=1.
　　（点评：通过分析两圆的位置关系，得到|MO|+|MO|=10（大于|OO|），满足椭圆的定义，所以点M的轨迹是以O、O为焦点的椭圆.）
　　例2：已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（C）
　　A.2 B.6 C.4 D.12
　　（点评：因为点B、C在椭圆上，A是椭圆的一个焦点，设另一个焦点为D，则|BD|+|BA|=2a=2，|CD|+|CA|=2，所以△ABC的周长是4.）
　　二、注意基本公式与基本方法的熟练应用
　　在圆锥曲线的考查中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点，将直线方程与圆锥曲线方程联立整理得关于x（y）的一元二次方程，以及韦达定理、弦长公式、点差法等是需要掌握的基本方法.现举例如下.
　　例3：已知双曲线C：—=1（0<λ<1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点，试确定λ的范围，使·=0，其中点O为坐标原点.
　　解：设M（x，y），N（x，y），由已知易求B（1，0），
　　①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1，
　　设M（1，y），N（1，—y），（y>0），由·=0，得y=1，
　　∴M（1，1），N（1，—1）.
　　又M（1，1），N（1，—1）在双曲线上，
　　∴—=1⇒λ+λ—1=0⇒λ=，
　　因为0<λ<1，所以λ=.
　　②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k（x—1）.
　　由
　　—=1
　　y=k（x—1），得[λ—（1—λ）k]x+2（1—λ）kx—（1—λ）（k+λ）=0，
　　由题意知：λ—（1—λ）k≠0，所以x+x=，xx=，
　　于是yy=k（x—1）（x—1）=，
　　因为·=0，且M、N在双曲线右支上，
　　所以
　　x
　　x
　　+y
　　y=0
　　x
　　+x>0
　　x
　　x>0⇒
　　k
　　=
　　k
　　>⇒
　　>
　　λ+λ—1>0⇒<λ<.
　　由①②，知≤λ<.
　　（点评：直线和圆锥曲线相交时，将两方程联立，要注意交点的位置，以及Δ的应用，以确定式中量的取值范围，再就是直线的斜率问题，要注意题中条件是否应加以讨论.）
　　三、注意近年来高考题目中对圆锥曲线问题考查的题型的一些新变化
　　高考对于圆锥曲线的考查主要是从四个方面，即：定点、定值问题，最值极值问题，参数的取值范围问题，以及开放性问题即是否存在的问题的考查.解决这类问题的关键是对题目中条件的转化.现举例如下.
　　例4：如图所示，倾斜角为α的直线经过抛物线y=8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点.
　　（1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；
　　（2）若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明|FP|—
　　|FP|cos2α为定值，并求此定值.
　　解（1）由已知得2p=8，∴=2，∴抛物线的焦点坐标为F（2，0），准线方程为x=—2.
　　（2）设A（x，y），B（x，y），直线AB的斜率为k=tanα，则直线方程为y=k（x—2），
　　将此式代入y=8x，得kx—4（k+2）x+4k=0，
　　故x+x=，
　　记直线m与AB的交点为E（x，y），则
　　x==，y=k（x—2）=，
　　故直线m的方程为y—=—
　　x—，令y=0，得点P的横坐标x=+4，
　　故|FP|=x—2==，
　　∴|FP|—|FP|cos2α=（1—cos2α）==8，为定值.
　　（点评：该题第二问为定值问题，转化的思路为表示出点P的横坐标，然后表示出|FP|，以及二倍角的余弦公式把2α化为α的三角函数.）
　　例5：已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F（—3，0），一条渐近线的方程是x—2y=0.（1）求双曲线C的方程；（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围.
　　解（1）设双曲线C的方程为—=1（a>0，b>0）.
　　由题设得
　　a
　　+b=9
　　=，解得
　　a=4
　　b=5.所以双曲线C的方程为—=1.
　　（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）.点M（x，y），N（x，y）的坐标满足方程组
　　y=kx+m ①
　　—=1 ②将①式代入②式，得—=1，整理得
　　（5—4k）x—8kmx—4m—20=0.
　　此方程有两个不等实根，于是5—4k≠0，且Δ=（—8km）+4（5—4k）（4m+20）>0，
　　整理得m+5—4k>0.③
　　由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x，y）满足x==，y=kx+m=.
　　从而线段MN的垂直平分线的方程为y—=—
　　x—.
　　此直线与x轴、y轴的交点坐标分别为
　　，0，0
　　，.
　　由题设可得
　　·
　　=.整理得m=，k≠0.
　　将上式代入③式得+5—4k>0，整理得（4k—5）（4k—|k|—5）>0，k≠0.
　　解得0<|k|<或|k|>.
　　所以k的取值范围是（—∞，—）∪（—，0）∪（0，）∪（，+∞）.
　　（该题第二问为求参数的取值范围问题，题中既不知直线斜率又不知直线过的点，可通过设出直线方程为y=kx+m，利用题中条件找到k与m的关系，再根据题中条件求出k的取值范围.）
　　例5：已知定点C（—1，0）及椭圆x+3y=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点.（1）若线段AB中点的横坐标是—，求直线AB的方程；
　　（2）在x轴上是否存在点M，使·为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
　　解（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
　　将y=k（x+1）代入x+3y=5，消去y整理得（3k+1）x+6kx+3k—5=0.
　　设A（x，y），B（x，y），
　　则Δ
　　=36k—4（
　　3k+1）（
　　3k—5）>0， ①
　　x
　　+x
　　=— ②
　　由线段AB中点的横坐标是—，得=—=—，解得k=±，适合①.
　　所以直线AB的方程为x—y+1=0，或x+y+1=0.
　　（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使·为常数.
　　（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x+x=—，xx=. ③
　　所以·=（x—m）（x—m）+yy=（x—m）（x—m）+k（x+1）（x+1）
　　=（k+1）xx+（k—m）（x+x）+k+m.将③代入，整理得
　　·=+m=+m=m+2m——.
　　注意到·是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=—，此时·=.
　　（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为—1
　　，，—1，
　　—，
　　当m=—时，亦有·=.
　　综上，在x轴上存在定点M
　　—，0，使·为常数.
　　（点评：题中第二问为开放性问题，即是否存在的问题，该类问题的基本思路是假设存在，然后按存在求解.如果求出的值在题中条件所给的范围内，则存在；如果无解或求出的结果不在所给范围内，则不存在.要注意题中条件的应用.）
　　圆锥曲线部分的另一个特点是运算量比较大，需要细心运算，还要有耐心，只要思路正确，再加上细心运算，圆锥曲线部分就不再是难点，而是一个非常重要的得分