凸显考试价值，透析教学本质

摘 要： 一道好的压轴题，既要体现数学知识、技能与经验、能力的内在价值，又要体现数学的人文价值，关注学生的精神世界、情感需求和个性差异，使之成为学生与知识、情景、命题者（教师）之间自然对话的良性载体，成为心灵交汇、情感交流的畅通渠道。压轴题是经过命题者精心编制，具有典型性、示范性、拓展性、研究性。只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能让自己从单纯的执行者转变为开发者，从而更好地训练学生的创造性思维，教学也必将更加有效。

关键词： 几何压轴题 命题反思 教学导向

2012年3月，笔者参与莆田市命制一份九年级质量检测试题，以抽查形式考试，了解不同县区不同学校的教学情况，以便把脉诊断，指导教学，为中考做好彩排，能否实现检测的预期目标，命题质量的高低是关键，而压轴题又是命制一份试卷的核心，试卷第24题是一道几何图形变化综合题。以下我谈谈命制该题的经历，与各位同仁切磋交流，探究得失，共同提高。

一、命题的构思

初中数学压轴题，能区分优良层次学生综合利用所学知识解决问题的能力，是提高区分度的有效途径。所以命制的压轴题压，既要符合学情，又要对教学起到指挥棒的引领作用。对探究活动过程的准确评价是命题的基本要求。探究活动过程中所表现出来的思考方式、操作水平，直接关系到对所学知识与方法的理解深度；考查学生能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性，并使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程。命题应从知识立意、能力立意过渡到过程立意，试题的考核应与过程性的目标相一致，体现出一定的思想方法和解决问题能力方面的要求。

由于几何综合题作为整份试卷的重点考查内容之一，与其他的试题并列存在，并形成整套的考查体系，知识方法结构融洽且互补，因此我们选择了对问题形成过程的考查，这样做有助于倡导新课标的教学方式，加强探索性问题考查，有利于学生有更多的自主探究的机会。在实施过程中还要关注：怎样设问才能较好地让学生展现自己认识问题和选择解题策略的过程、探究问题和说理的思维活动过程、提出问题与解决问题的过程？什么样的试题形式比较适合考查学生的数学活动过程？等等。中考前的预演，特别要考查学生的探究性学习能力与掌握数学思想方法的程度，难度系数要求控制在0.4～0.6。根据命题要求，将压轴题命题方向确定为两个：一是要有一定的综合度，力求涉及“空间与图形”，考查学生知识深广度和融会贯通的能力；二是要围绕数学核心知识，体现重要数学思想方法，考查学生数学素养和运用数学解决问题的能力。

二、试题命制过程

1.试题的形成

图形变化是几何综合题的方向，一般分为运动型（点、线、面的运动）及图形变换（平移、旋转、轴对称、相似及位似变换）两种，第24题凝聚了运动与变换，解题过程融合情推理与逻辑推理于一体。

初稿：Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为射线CA上的一个动点（不与A、C重合），DE⊥直线AB于E，F是BD的中点，连接CF、EF.

（1）①如图1，当BD平分∠ABC时，求证：△FCD≌△FDE；

②当AC=8，BC=6时，设CE=x，△DEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围.

（2）如图2，点G是AB边上的一个动点，当DG+FG的值最小时，DG与EF相交于O，猜想DO与GO之间的数量关系，并加以证明；

图1 图2 备用图

2.科学性、适用性审核

（1）各小题之间的联系不够密切；

（2）第（1）②的计算较复杂。

AB=■=■=10

有两种情况：（Ⅰ）当D点在AC边上时，过F作FH⊥AB于H（如图3）：

∵DF=BF，FH⊥AB于H

∴EH=BH，∴FH=■DE

∵sinA=■=■=■

∴DE=■AD=■（8-x），AE=■AD=■（8-x）

∴FH=■DE=■（8-x）

∴S=S■=S■=■BE·FH=■[10-■（8-x）]·■（8-x）

∴S=-■x■+■x+■（0

（Ⅱ）当点D在CA延长线上时，过F作FH⊥AB于H（如图4）：

同理得：FH=■DE=■

∵BE=10+■（x-8）=■+■x

∴S=S■=S■=■BE·FH=■（■+■x）·■（x-8）

∴S=■x■-■x-■（x>8）

（3）图形多，干扰因素就多，不利于学生正常发挥学习水平。

3.修改方案

改变条件和设问：

（1）把第（1）小题①的设问改为求FH的长（用含x的式子表示），显然与②及第（2）小题的联系会更密切，同时对第②步的解答有提示性的作用；

（2）把条件“CE=x”改为“AD=x”，计算量大幅度降低，避免学生因为计算而产生解题困难；

（3）去掉图2，增强了考查学生空间想象能力和实际操作能力。

4.试题定稿

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是射线CA上的一个动点（不与A、C重合），DE⊥直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FH⊥直线AB于H点，连接EF，设AD=x.

（1）①若点D在AC边上，求FH的长（用含x的式子表示）；

②若点D在射线CA上，△BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围。

（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DP+FP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明。

至此，上述探索过程中产生的问题全部解决，从试卷难度系数要求考虑，设置了两个问题。从命题技术分析，结构合理，难度适中，层层递进，一道集实验操作、猜想证明、应用探究于一体的综合题型，考查了学生的分析、观察、猜测、验证、计算与推理能力。本题的知识点：角平分线性质、三角形的外角、勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质。融会了数形结合、转化与化归、方程与函数、分类讨论、数学建模，是一道综合性较强的题目。试题解法多样、思路开阔，能给予优秀生充分施展才能的空间，因而试题呈现出良好的区分度。同时该试题的考核也与过程性的目标相一致，体现出一定的数学思考和解决问题能力方面的要求，因而能更好地培养学生的独立思考能力和探索精神，培养学生的创造意识与创新能力。

三、成绩反馈

从与考学生中随机抽查200份阅卷信息采集反馈情况：

从得分值的分布情况看，得9～12分的有46人，占23%；得5～8分的有81人，占40.5%；

得0～4分的有73人，占36.5%。符合预期的目标。难度系数为0.471，也在预估范围之内。

四、命题反思

1.对命题者编题的启示

（1）积累典型题，探索新模型，提升命题技术。命题方面适度淡化几何的推理与证明，适当渗透合情推理、猜证结合与算证结合，是新课标的理念；让考生经历探究、猜想、验证的科学发现与研究的一般过程，培养归纳、猜想、证明的思维品质与习惯，进一步渗透几何与代数相融合的观念，几何题中有代数解法，代数题中有几何解法，感受数学的整体性与不可分割。命制一道寓意深远、数据精巧、结构良好、层次鲜明、逻辑严密、综合度高、区分度好的度题，不仅需要教师具有良好的解题能力，而且需要具备融会贯通的命题策略和取材新颖、设问合理的命题技能。我们在平时的教学中应注意积累典型习题，关注常见模型，善于发掘归纳新模型，多进行变式、多研究试题结构。当然，有必要进行命题技术知识培训，提高命题的理论和实践水平。

（2）熟练掌握知识间的联系，正确把握命题方向。对核心知识的考查是命题的方向，只有熟练掌握教材中知识的纵向发展和横向联系，才能明确初中数学的核心知识与重要思想方法；所以命题者有较强的对知识驾驭、选择能力，对思想方法的渗透、整合能力是成功命题的基础。任何试题都承载着评价、反馈、诊断的诸多功能，更需要确立良好的教学导向，质量检测试题更要关注这些功能，立足教材，关注基本技能和核心知识，这才是学生能力提升和持续发展之本，也是教育的长久之计。

（3）以生为本，合理预知，提高命题效度。一道试题编制成功与否，效度是否理想，最终的检验是学生的解答是否正确。所以命题者需要了解学生的认知特点、知识储备情况，对学生答题情况要有合理的预知，特别在用“几何画板”等软件进行命题探索、构题时，命题者更要摆正心态，让大部分学生读题后有思维的路径可循。在试题成形后，还需要进行精加工，关注细节，注意题目结构的严谨性和科学性，题目数据的易写易算、题目表述的规范简洁等，尽可能使题目人性化，提高试题效度。

2.对初中数学教学的启示

﹙1﹚重视基础，回归教材，突出数学基本概念和基本原理的教学，注意数学各部分知识之间的衔接与联系，努力揭示数学概念、法则、结论的发展背景、过程和本质。初中数学教学必须面向全体学生，教学中要突出主干知识内容，落实基本概念知识、基本技能和基本数学思想方法的要求，特别要关心数学学习困难的学生，通过学习兴趣培养和学习方法指导，使他们达到学习的基本要求，从而提高合格率。

﹙2﹚关注数学知识的形成过程，培养学生的动手、实验、归纳、操作能力。《数学课程标准》非常重视学习过程和动手操作能力，数学教学绝不能只是学习数学的结论，而应强调知识的发生和发展过程，学生绝不能“只知其然，而不知其所以然”。教学中，要创造一定的空间和时间，重视学生对自我学习过程的品味和反思，使学生理解并掌握数学解题的方法与过程，弄清数学知识的来龙去脉。

﹙3﹚突出数学思想方法的教学，注重提高学生的数学思维能力，增强学生的自主探究意识，培养创新和实践能力。数学不仅是一种重要的“工具”和“方法”，更是一种思维模式，其表现就是数学思想。数学思想是数学基础知识在更高层次上的抽象与概括，它蕴含于数学知识之中，是数学知识的精髓。《数学课程标准》要求学生能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例。因此教学中应选择具有代表性、典型性、研究性的问题给予仔细剖析、精讲精练，摒弃追求繁、难、偏、怪的问题。在掌握通性通法的基础上，进一步寻求其不同解题途径和思维方法，善于打破已有的思维定势，深化其蕴涵的数学思想，优化、简化解题方法，增强学生思维的广阔性。

（4）利用探究性试题作为压轴是试卷的特色之一，它具有一定难度，主要考查学生的阅读能力、动手实践能力、探索发现能力、合情推理能力、归纳概括能力。开放性试题有助于培养学生的发散性思维能力和逻辑思维能力，有助于培养学生的创新意识。教师在教学中，可以从教材中的某个基本例、习题出发，采用综合结论、合并图形、改变设问方式、变换题设条件、互换条件结论等方法，对已有经验问题进行加工、变式、改造、整合，将其变式成新问题，使之“貌似原题，又不同于原题”，让学生从不同角度去思考和探索问题，从而加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓展学生思维，激发学生学习数学的兴趣，提升学生的创新思维能力。

命制一道好的试题，需要命题组人员的共同努力。不仅需要命题者自身有左冲右突、纵横驰骋、绝路逢生、柳暗花明的解题能力，而且需要具备高屋建瓴、融会贯通、纵横拓展的命题策略和取材新颖、设问合理、贴近学生实际的命题技能。压轴题是经过命题者精心编制的，具有典型性、示范性、拓展性、研究性，只有教师认真钻研，学会拓展延伸、类比迁移，才能从一个单纯的执行者转变为开发者，从而能够更好地训练学生的创造性思维，教学也必将更加有效。

参考文献：

[1]数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2011.

[2]桂文通.借鉴与创新[J].中学数学教学参考（中旬），2012（4）.57-59.

[3]陈林香.一道质量检测题的编制历程[J].中学数学教学参考（中旬），2012（9）.55-57.

[4]蔡德清.中考几何综合题对数学活动考查的命题研究与反思[J].福建教育，2012（3）.35-37.