一种高精度弹道导弹落点预测方法

刘彦君，乔士东，黄金才，成 清，黄 森

（国防科学技术大学 信息系统工程重点实验室，长沙410073）

弹道导弹具有射程远、再入速度快、精度高、雷达散射截面小等特点，被探测发现的概率小，被成功拦截的概率低[1].为了有效防御弹道导弹攻击，当今世界各国都十分注重发展弹道导弹防御技术.能够有效地预警是反战术弹道导弹的前提和基础.对于预警系统而言，准确、快速地预报弹道导弹的落点是反弹道导弹部署以及提高拦截概率的关键步骤[2，3].

目前，弹道导弹落点预测方法主要有2种.第一种方法是未考虑大气动力影响的椭圆弹道理论.由于中远程弹道导弹的自由段射程和飞行时间占全弹道的90% 以上[4]，且按照主动段终点获得的给定速度和弹道倾角仅在地心引力下作惯性飞行[5]，轨迹是一段比较标准的椭圆弧.再入段受空气阻力影响速度迅速减小，但其轨迹偏离原椭圆弹道不大，可以近似认为是原椭圆弹道的延伸[6，7]，因此椭圆弹道理论 有 重 要 意 义.牛 云[8]、刘 仁[1]、顾 铁 军[6，9]等 应用该理论对弹道导弹落点进行了预测.第二种方法对弹道导弹的自由段和再入段进行了详细的受力分析，考虑大气动力影响，对弹道进行外推预测.贺明科等[10]综合利用纵向和横向的射程数据，给出了精度较高的落点外推算法和较高的落点预报；王旭智等[11]提出利用外弹道微分方程组实时快速解算弹道的算法.但总体而言，前者算法复杂度、精确度均低，后者反之.2种方法均依赖弹道特性对落点进行预测，忽略了来袭导弹具有明显军事意图的事实.本文以此为鉴，假定来袭导弹必定攻击我方某军事目标，提出了快速划定目标搜索范围并精确生成弹道导弹轨迹的落点预测算法.

本文所提算法基于当前弹道导弹高精度打击的事实[12]，假定来袭导弹必定攻击我方某军事目标，以预警雷达探测的弹头状态数据（位矢与速度）为输入，应用椭圆弹道理论对弹道导弹落点进行预处理，以预测误差为半径划定落点范围，从而判断该范围内最可能的打击目标，若该范围不存在打击目标，则重新对导弹落点进行预处理；之后，以弹头参数为种子基因，以预测弹道轨迹与探测弹道轨迹的拟合度为优化函数，基于4D外弹道模型应用遗传算法对弹道导弹弹道进行精细处理，以便得到高精度的弹道导弹预测轨迹.若拟合程度未达到要求，则重新对导弹落点进行预处理，因此该步骤可以判定估计受袭目标的正确性.由于弹道导弹轨迹为特殊意义上的落点，对其进行高精度预测是落点预测的广义内涵.图1为算法流程图.

图1 算法流程图

1 相关坐标系及假设

1.1 坐标系

①发射坐标系（OzXzYzZz）.坐标原点Oz位于导弹发射点，OzYz轴沿地心到发射点的连线指向外，OzXz轴沿发射点地面切线指向瞄准方向，OzZz垂直于另外两轴并与它们构成随地球旋转的右手直角坐标系.

②地心惯性坐标系（OeXeYeZe）.坐标原点在地心Oe，OeXe轴过仿真零时刻0°经线与赤道交点向外，OeYe轴过仿真零时刻东经90°经线与赤道交点向外，OeZe轴沿地球自转轴指向北极，OeXeYeZe构成右手直角坐标系.

1.2 假设

根据文献[5，13，14]对环境进行如下假设：①弹头不受随机干扰；②弹头为轴对称体；③弹头为低速旋转稳定弹头；④地球为匀质标准球体；⑤弹头在被动段的再入段受大气动力影响.

2 基于椭圆弹道理论的落点预处理算法

本文采用椭圆弹道理论旨在对弹道导弹落点进行预处理，以预警雷达测量误差为扰动因子确定预测误差，并以其为半径划定落点范围，从而判断该范围内最可能的打击目标，并估计落点时间.为计算方便，假设矢径r由地心指向质点，速度v与当地水平线之间的夹角为θ，且规定速度在当地水平线上方时为正，反之为负.如图2所示[8]，已知初始点的矢径r0、速度v0以及v0和当地水平线的夹角θ0，rOB为守恒矢量方向，R为地球半径；θF，vF分别为终点的夹角和速度.

图2 椭圆弹道示意图

在仅知弹头矢径和速度的条件下，文献[5]给出了一种v0和当地水平线的夹角θ0的表达式：

文献[7]给出了一种椭圆弹道射程角β和飞行时间t公式的推导方法，即

式中，f为万有引力常数，m为地球质量，h为任一瞬时导弹对地心的动量矩，E为导弹的总机械能.

在已知观测点D的矢径、速度和射程角β后，过点D且平行于速度方向的平面Q1可以近似看作导弹的飞行平面，过地心Oe与点D且与弹头速度方向垂直的平面Q2与过地心Oe与落点B且与弹头速度方向垂直的平面Q3的夹角即为射程角β.根据上述事实，即推出落点坐标，如图3所示.

图3 落点求解示意图

设平面Q1为A1x＋B1y＋C1z＝0，其法向量为n1＝A1i＋B1j＋C1k，则

式中，i，j，k为各轴单位矢量，通过式（10）可以解得平面Q1.

设平面Q2为A2x＋B2y＋C2z＝0，其法向量为n2＝A2i＋B2j＋C2k，则

由式（11）即可解得平面Q2.

设平面Q3为A3x＋B3y＋C3z＝0，其单位法向量为n3＝A3i＋B3j＋C3k，则

由式（12）可得平面Q3，则平面Q1、平面Q3与地球表面的交点就是落点B，设B为（x，y，z），则

解式（13）即可得落点坐标.在确定落点坐标后，可得到预测落点误差[5]，然后以解析落点为圆心、以误差为半径，划定搜索区域，并在该区域内搜索可能受打击的军事目标.当该区域内仅有一个目标时，则记录其坐标；当有2个及2个以上目标时可根据一定的算法评估各目标的重要度[15]，并以重要度最高者为最可能受打击对象.

3 基于4D外弹道模型的落点预测算法

式中，v为导弹速度，md为导弹质量，ρ为空气密度，S为导弹截面积，FD为阻力符合系数，CD0为攻角为0的阻力系数，Cα为诱导阻力系数，αD为起始扰动引起的攻角，αe为动力平衡角，g为重力，Λ为科氏力[13].

由于FD，CD0，Cα，α2D等参数会随弹头运动状态而发生微小变化，上述参数与S，md等均为未知量.如果能够对这些参数进行高精度的估计，那么就可以得到弹头被动段的飞行轨迹.文献[16，17]以弹头发射角为优化对象，应用改进的遗传算法与龙格库塔法的弹道求解方法求得了高精度的发射角.本文鉴于FD，CD0，Cα等参数的变化微小，而将它们视为常量，将式（14）中的系数－ρS（FDCD0＋）/（2md）用－ρλ代替，其中λ＝S（FDCD0＋）/（2md）.将λ作为优化对象，以预测弹道轨迹与探测弹道轨迹的拟合度为优化函数，基于式（14）的受力模型应用遗传算法对弹道导弹弹道进行精细处理，得到高精度的预测轨迹.具体的算法流程如下：

①[Oorigin，Ttarget]＝Get（）；获取观测弹头和目标的位矢.

②λ＝Random（）；随机抽取优化对象λ的初始值.

弹头在自由段仅受地心引力，受力分析相对简单，文献[5]有详细研究，这里不再赘述.由于弹头在再入段受到空气阻力、升力、地心引力、科氏力的影响，并且由于弹头为低速旋转稳定弹头，可忽略马格努斯力的影响，因此适当修改文献[13]中4D外弹道模型，即可得到再入段弹头的受力微分方程：

③Eerror＝ODE（λ，Oorigin，Ttarget）；以λ，Oorigin，Ttarget为输入，对弹道微分方程进行龙格库塔积分，求得当参数为λ时的弹道与探测点和目标数据的误差.

④If（Eerror＞K）；判断误差是否小于阈值K，若大于则转向⑤；否则结束.

⑤Options＝gaoptimset（）；对遗传算子进行适当设置.

⑥λ＝ga（＠ODE，Eerror）.进行遗传操作并得到新的λ，转入③.

4 仿真实验

为验证本文算法的有效性，设定发射坐标系中来袭导弹仿真弹道的初始条件，见表1，表中d为导弹直径；设定我方3个军事目标的地理位置及其重要度I，见表2；进行实验，得到仿真实验运行结果，见表3.

表1 来袭导弹仿真弹道初始条件

表2 我方3个军事目标地理位置

由仿真实验运行结果可看出，该算法对一枚处在自由段的上升阶段的弹道导弹进行了落点预测.结果表明，运用椭圆弹道理论进行的落点粗估计用时0.042 6s，时间消耗很小，验证了椭圆弹道理论计算复杂度低的优势.由仿真时刻0.044～3.360s可知，落点预测模块在错误判定军事目标点A为最可能打击对象后，经过误差分析，成功地否定了这个判定，并重新确定了军事目标点C为最可能打击对象.这说明了该模块中应用4D外弹道模型对来袭导弹进行的精细处理，不但可以验证受袭军事目标判定的准确性，而且可以得到精度较高的弹道轨迹数据.从整个运行时间看，弹道导弹落点预测模块对目标A和C都进行了拟合，共用时3.47s，平均在2s以内，可满足预警时间要求.

表3 仿真实验运行结果

如图4所示，以误差Eerror为纵坐标，惯性坐标系的x轴为横坐标，实验结果表明，在导弹飞行的大部分弹道上预测弹道与仿真弹道的误差在300m左右，在距离受打击目标C点近20km处总误差下降至83.12m，达到精度要求，并在相对距离上成功预测了导弹的落点，生成了高精度的导弹预测弹道，图5表明导弹成功命中目标C.

图4 预测弹道与仿真弹道误差示意图

必须指出的是，本文的算法考虑雷达测量精度不全面，且使用的测量初始值单一，更好的做法是对多组测量值进行滤波后得到一个估计的初始值.

5 结束语

本文以假定弹道导弹必定攻击我方军事目标为前提，避免了仅仅依靠弹道特性进行落点预测的弊端，先后运用了精度较低的椭圆弹道理论和高精度的4D外弹道模型，在预警要求时间内对来袭弹道导弹轨迹和落点进行了高精度预测，具有一定的实践意义.虽然由于忽视了弹头属性参数的变化等因素，为预测带来了一定的误差，但算法总体满足了导弹预警的时间和精度要求，并且当预警雷达探测到多个弹头目标时，也可为多弹头同时预测落点.

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