Hermite正（半）定矩阵迹的几个不等式

冯天祥

（东莞职业技术学院公共教学部，广东东莞 523808）

1 引 言

1980年，R.Bellman在文献[1]中得到了Hermite正半定矩阵乘积的不等式：

在该文中，R.Bellman还给出了Hermite正半定矩阵迹的不等式：

此后，对Hermite正半定矩阵迹的不等式问题的研究引起了国内外许多学者的关注，得到了很多有趣的结果.本文在众多学者的基础上，利用文献[2]中的部分结果，结合一些初等不等式，采用矩阵恒等变形的方法，得到了几个Hermite正（半）定矩阵迹的不等式.

2 几个引理

在文章中约定用λ1(A) ≥ λ2(A) ≥ ...≥ λn(A)表示n阶方阵A的特征值.

引理1[1]设A,B为n阶方阵， ,αβ为实数，则

引理3[2]设 A= (aij)n×n,B = (bij)n×n，则有

引理4[2]设A,B为两个n阶Hermite正半定矩阵，则有

（7）式中等号成立⇔存在数s,t使 C = sA = tB .

3 主要结果

定理1 设A,B为两个n阶Hermite正半定矩阵，则有

证明：由引理1和引理3知

定理2 设A为n阶Hermite正定矩阵，B为n阶Hermite正半定矩阵，则有

证明：首先由引理4，有

又因为A正定，所以trA＞0， λ1( A) ＞ 0，于是有

由引理3，易知

再由（12）式得到，

证明：

再利用引理5中推广的Holder不等式（7），得到

而

于是由（15）~（18）得到：

所以有

[1]R.Bellman.Some inequalities for Positive Definite Matrices[A]. In:E.F. Backenbach (Ed.),General Inequalities [C]. Proceedings of the International Conference on General Inequalities,Birkhauser,Basel,1980.

[2]王松桂，吴密霞，贾忠贞.矩阵不等式[M].北京：科学出版社，2007.

[3]宋海涛.一类矩阵迹不等式的推广[J].工科数学，2002（1）.

[4]向以华.一类变分不等式问题解的存在性[J].重庆三峡学院学报，2010（3）.