周期性压力对T型微管内二元流体混合效果的影响*

华 硕， 李 霞， 许友生， 吴锋民

(1．吉林化工学院 理学院，吉林 吉林 132000，2．浙江师范大学 数理与信息工程学院，浙江 金华321004)

0 引言

二元微流动的混合问题是微流动领域最基础的问题之一．这个问题广泛存在于医药学、生物学、化学等各个专业领域．

湍流和混沌流的混合效果远远高于一般的层流．混沌对流的显著特征是接触面的增长及层流厚度的相应减少，其中最简单的就是漩涡模型．文献［1］通过实验研究了弯曲的微管道内的漩涡流和混沌混合，并且展示了简单的弯曲管道可以引导混沌对流．Simonnet和Groisman［2］完成了微管道内能使层流产生混沌式混合的实验，并宣布他们提出的微管道能提供更快更有效的混合，并且简单易行．Pereira［3］研究了可变的滑移边界条件对非牛顿流体的压力传递的影响，提出了一个方便的方法：通过使用滑移边界条件结合正弦时间梯度压力来增加横流．Ian和Nadine［4］模拟了两入口呈90°夹角的微管内的二元流体的混合，并发现当流体的入口速度随时间呈正弦梯度变化时可提高流体混合效果．

本文提出一种新的T型微管道混合器，该混合器仅仅通过流体速度随时间呈正弦梯度变化来制造混沌流，从而达到促进混合的目的;同时，研究了该混合器在相位差不同、雷诺数不同及速度变化周期不同情况下的混合效果．

1 二元混合物的格子玻尔兹曼模型

本文采用文献［5-6］的模型模拟二元流体的混合．对于二元流体系统内的2种物质，能得到2个玻尔兹曼方程［6］：

式(1)～式(2)中：f是概率分布函数;ξ是粒子速度;σ和ξ代表2种物质;Qσξ是由于2种物质相互作用的碰撞项;Qσσ和Qξξ是自碰撞项．格子玻尔兹曼方程可被离散为如下形式：

自碰撞项的得出类似于单流体LBM(Lattice Boltzmann Method)，并且也采用BGK(Bhatnagar-Gross-Krook)模型．在等温线系统的假设中，互碰撞来源于两流体理论．碰撞方程的右边项分别是：

式(4)～式(6)中：Fσα代表外力;ρσ和ρξ，uσ和uξ分别是2种流体σ和ξ的质量密度和流动速度;eα是速度矢量;aσ是加速度;ρ和u是流体的密度和速度，它们的定义分别为 ρ=ρσ+ρξ和 ρu=ρσuσ+ρξuξ．在二元流体混合模型中，两组分的黏性由松弛因子τσ和τξ调节．对于不可互溶的混合物，τD应该小于0．5，此时，两流体间有明显的接触面．相反，对于模拟可互溶的混合物，τD应该大于0．5．平衡态分布函数 fσ(0)α被定义为：

式(8)中：w0=4/9;w1，2，3，4=1/9;w5，6，7，8=1/36．各种类的黏性等对D2Q9模型，速度矢量

2 初始状态设置

本文中，每个单元格对应实际长度为1 μm，每计算步对应时间为8．65×10－5s．如图1所示，本文采用T型微管道混合器，微管的长宽分别为520 μm和120 μm单元格，入口宽度为20 μm．流体A和流体B将以变化的速度分别流入管口，而流速随时间呈正弦曲线变化，两入口处速度分别为 va=vmsin(ωt)，vb= －vmsin(ωt+kπ)，其中 k=0，不永远是正的，当速度值随时间变为负值时，相当于在管口加一负压力，即抽吸力．下文将研究入口速度公式中3个可变参数(最大速度vm，速度变化周期T，相位差kπ)的变化对混合效果的影响．

3 计算结果及分析

当两流体以恒定不变的速度流入T型管时，两流体趋于层流，混合仅仅通过两流体接触面上的分子的自由扩散，效果微弱．为了比较和衡量新型微混合器的混合效果，笔者用黑白两色分别代表A，B两流体．由图2可以明显看出，A，B两流体已均匀混合，效果较好．

3．1 相位差对混合效果的影响

图3显示的是最大速度 vm=3．0×10－7m/s2种流体基本上都以层流的方式流动．令人惊奇的是，当k=1，即两入口速度相位差为π时，由图3(d)可见，两流体竟然发生了剧烈的搅动——漩涡式的流动．漩涡流是典型的混沌流，而混沌混合是微混合方式中混合效果比较好的一种．

图1 入口速度随时间呈正弦梯度变化的T型管示意图

图2 两流体匀速流入T型管时的混合效果图

图3 vm=0．3 ×10－7m/s时，两入口速度的相位差分别为(0，1/12，6/12，1)π 时的密度图

产生这一效果的原因其实并不复杂：根据正弦函数的变化规律，当相位差为0，即k=0时，两流体的入口速度随时间变化总是大小相等，方向相反．这样，当两不可互溶流体以方向相反的速度相遇时，由于自由扩散率低，将对相对交错流动的排斥力产生极大的阻碍(例如油和水不管如何搅拌，两组分之间不尽相同，所以也很难交错流动，而最终只能泾渭分明地平行流过微管道．而k=1，即二流体速度的相位差为π时，两流体的入口速度总是大小方向均相同．这就造成了一种“你进我退”的共同运动的趋势．而当两流体进入主流道时，两者速度共同发生偏转，于是就产生了漩涡．

由此可以看出，2种不可互溶流体以相同方向的速度流动时，更容易混合在一起，而不会由于速度方向相反而产生斥力进而影响混合．这就为混合的方式提供了新的思路．以往对流混合总是让两流体产生相对的运动速度，使两者对流、交汇，这使得不可互溶的2种流体产生了较大的速度耗散，且混合效果不明显．而笔者提出的方法是让两流体产生相同方向的速度，并一起震荡，最终可获得良好的混合效果．

3．2 速度对混合效果的影响

速度对微流动的影响是非常重要且明显的．本节将计算当速度最大值 vm分别为 0．3 ×10－7，1．5 ×10－7，3．0 ×10－7m/s时的混合效果．

从图4可以看出，当最大速度为0．3×10－7m/s时，两流体仅在交汇处发生轻微扰动，然后泾渭分明地平行流动，其间并未有任何交错扰动的趋势．随时间的变化，混合效果未见提高．这和匀速流体的流动相似．可见，当雷诺数太小时，该混合器将受制于黏滞力的影响，发挥不了作用．

图 5 vm=1．5 ×10－7m/s，计算步数分别为1 000，3 000，5 000 时流体的密度图

图 4 vm=0．3 ×10－7m/s，计算步数分别为1 000，3 000，5 000 时流体的密度图

图6 vm=3．0 ×10－7m/s，计算步数分别为1 000，3 000，5 000 时流体的密度图

从图5可以看出，当最大速度达到1．5×10－7m/s时，随着时间的推移，两流体间接触面增大且层流厚度大大减少，混合效果均匀明显．只是由于惯性力较小，混合进度较慢．

从图6可以看出，当最大速度达到3．0×10－7m/s时，随着时间的推移，两流体混合速度明显加快，混合效果较均匀．

至此，可以得出结论：当最大速度达到1．5×10－7m/s时，黏性力与惯性力的比例恰好可以使混合较为均匀，但是，混合速度较慢．随着速度的增大，惯性力增大，发生混沌混合的速度明显加快，但混合效果变得越来越不均匀．总之，速度对该混合器的混合效果和混合速度有重要影响．

3．3 速度变化快慢对混合效果的影响

管道两入口速度va=vmsin(ωt)，vb=－vmsin(ωt+kπ)，其中：ω=2π/T;T是衡量速度变化快慢的物理量，数值上等于单位时间步的n倍，而单位时间步对应的实际时间为8．65×10－5s．为了研究速度随时间变化的快慢对混合效果的影响，下面将模拟当vm=3．0×10－7m/s时，不同的速度变化周期下两流体的混合效果(见图7)．

图7 速度变化周期不同情况下的混合效果

从图7(a)，(b)可以看出，当速度变化周期过小时(T＜0．023 35 s)，速度变化过快，仅在管道两入口的交汇处有局部的混合，混合效果不明显．

当 T ＞0．023 35 s，混合速度明显加快和混合效果明显提高．从图 7(c)，(d)，(e)，(f)，(g)，(h)看到，当T=360*step=0．031 14 s左右时，混合效果明显且相同时间内混合区域最长．而随着周期T变长，相同时间内，管道内的混合区域逐渐缩短，但混合效果更均匀．

从图7中的(i)看出，当周期T＞0．062 28 s，由于速度变化过慢，而两流体A，B又存在相位差，这就导致两流体在相当长的时间内速度相差很大，造成管道内一种流体多、另一种流体少，从而影响了混合，混合器失效．

由此可以得出结论：两流体速度变化的快慢对混合效果有着至关重要的影响，速度变化过快或过慢都有可能导致混合器失效，最适宜的周期长度区间为0．023 35 s＜T＜0．062 28 s．

4 结论

本文提出了一种可以简单地通过控制入口流速促进二元流产生混沌式混合的T型管混合器，并且研究了该混合器发挥效用的几个必要条件：

1)两流体分别以随时间呈正弦函数变化的速度流入T型微管道的两入口，两流体流速的相位差为π．

2)两流体入口最大速度vm不能过小或过大：过小时，将很难产生波动;过大时，混合速度快，混合效果有所降低．对混合效果来讲，存在着最佳的vm值范围．

3)速度变化周期T的长短也影响着混合效果，T过大或过小都无法令两流体混合．当最大速度vm=3．0 ×10－7m/s，且0．023 35 s ＜T ＜0．062 28 s时，混合效果最好．

［1］Jiang Minxi，Wang Xiaonan，Ouyang Qi，et al．Spatiotemporal chaos control with a target wave in the complex Ginzburg-Landau equation system［J］．Phys Rev E，2004，69(5)：056202．

［2］Simonnet C，Groisman A．Chaotic mixing in a steady flow in a micro channel［J］．Physical Review Letters，2005，94：134501．

［3］Pereira G G．Effect of variable slip boundary conditions on flows of pressure driven non-Newtonian fluids［J］．J Non-Newtonian Fluid Mech，2009，157(3)：197-206．

［4］Ian G，Nadine A．Enhancement of microfluidic mixing using time pulsing［J］．Lab on a Chip，2003，3：114-120．

［5］Luo Lishi，Girimaji S S．Lattice Boltzmann model for binary mixtures［J］．Phys Rev E，2002，66(3)：035301．

［6］Luo Lishi，Girimaji S S．Theory of the lattice Boltzmann method：Two-fluid model for binary mixtures［J］．Phys Rev E，2003，67(3)：036302．