线性Schrödinger方程的两个时间分裂差分格式

王雪梅

(枣庄学院数学与统计学院,山东 枣庄 277160)

0 引言

许多物理问题需要求解如下形式的Schrödinger方程

(0.1)

u(a,t)=u(b,t),t∈R

(0.2)

u|t=0=u0(x),x∈[a,b]

(0.3)

其中v(x)为静电电压,是一个实函数,u(x,t)是复函数,i2=-1.

方程(0.1)～(0.3)在物理学(如固体物理学)方面有着广泛的应用,近年来也有很多关于该方程的研究论文,如Bao等人对此方程的半经典形式构造了两个谱格式[1],张鲁明等人对带波动算子的Schrödinger方程、自共轭Schrödinger方程和带五次项的Schrödinger方程构造了差分格式[2-4],都得到了较好的数值结果.据此本文中构造了两个时间分裂的隐式差分格式.

1 格式的构造

类似文献[1]中方法,把方程(0.1)式分为如下两个方程

(1.1～1.2)

此格式为绝对稳定的二阶隐格式,精度为O(τ2+h2).

若把tn到tn+1分为3步计算,得到格式2.

该格式也是绝对稳定的隐式格式,精度为O(τ2+h2).

2 格式的精度

下面用方程的平面波解来验证格式的精度.

当v(x)=d(d为常数)时,方程有如下形式的平面波解

(2.1)

对于格式1

对于格式2,与格式1类似有

通过以上分析,我们得到了格式1、2的精度.

3 两个格式的稳定性和收敛性

定理的证明令r=τ/h2为网格比,我们用Fourier分析法求格式1、格式2的稳定性条件,在此仍假设v(x)=d,d为常数.

(3.1)

(3.2)

因为|G(τ,θ)|=1,由稳定性条件得格式1是绝对稳定的.

对于格式2,与格式1类似分析可得 |G(τ,θ)|=1,所以格式2也是无条件稳定的.

由于格式1和格式2是相容的,并且绝对稳定,所以它们也是收敛的,并且收敛阶为O(τ2+h2).

在已有结论中,文献[1]中用的是分裂谱方法,格式绝对稳定,但计算时间较长.而文献[2-4]中用离散泛函分析的方法证明了格式的稳定性和收敛性,证明较繁琐.而本文中证明过程中利用线性化的分析方法,较简单的得到了格式1和格式2的收敛性条件.

4 数值实验

表1 格式1与格式2计算结果

为了与文献[1]中的格式进行比较,我们记文献[1]的两个格式为格式3,格式4.比较在满足精度为小于0.001的情况下,格式1,2与格式3,4的计算时间比较.在表1中我们已给出了在不同的步长下格式的精度和计算时间,格式3,4的计算结果如下表2.

表2 格式3与格式4计算结果

由上面的比较可以看出,格式1,2与格式3,4的精度相当,但是省了不少的计算时间.所以在计算量比较大的情况下,我们的格式是很有效的.

图1 格式1计算的解的模‖u(x,t)‖

图2 格式2计算的解的模‖u(x,t)‖

数值实验的结果表明本文中的算法是有效而可靠的.

[1] Bao W, Jin S,Markowich P A. Numerical study of time-splitting spectral discretizations of nonlinear Schrödinger equation in the semiclassical regimes[J].SIAM J Sci Compt, 2003,23：27-64.

[2] 张鲁明,李祥贵.一类带波动算子的非线性Schrödinger方程的一个守恒差分格式[J].数学物理学报,2002,22A(2):258-263.

[3] 张鲁明,刘奋.一类非自共轭非线性Schrödinger方程的三层差分格式[J].应用数学学报, 2002,25(3):469-475.

[4] 张鲁明,常谦顺.带五次项的非线性Schrödinger方程差分解法[J].应用数学学报, 2000,23(3):351-358.

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