交换子在齐次Morrey-Herz空间上的有界性

杨明华,张学铭,刘冬华

(暨南大学数学系,广东 广州 510632)

0 引言

定义一个二阶散度型椭圆算子Lf=-div(Af),A=A(x)是指一个定义在Rn上的复的L∞系数的n×n矩阵,且满足一致性椭圆条件:存在0<λ≤γ<∞,使得其中ζ,ζ∈Cn.

(0.1)

当L=-Δ即为Rn上的Laplace算子时,以上广义分数次积分算子就是经典的分数次积分算子.相应的广义分数次积分算子与BMO(Rn)函数b(x)生成的交换子[b,L-1/2]定义为：

[b,L-β/2](f)(x)=b(x)L-β/2(f)(x)-L-β/2(bf)(x)

(0.2)

(0.3)

众所周知,分数次积分算子是调和分析中以偏微分方程为背景的一种重要算子．在偏微分方程中为了研究Possion方程,Sobolve[1]引入经典的分数次算子又称Riesz位势算子Iβ．1982年,Chanillo[2]引入了分数次交换子,并证明当b∈BMO(Rn)时,交换子[b,Iβ]是(Lp(Rn),Lq(Rn))型的,其中1/p=1/q-1/n．1998年Fan Dashan等[3-4]给出了奇异积分算子及其交换子在Morrey空间上的有界性,2004年Duong等[5]给出了广义分数次积分算子交换子[b,L-β/2]从Lp(Rn)到Lq(Rn)是有界的.Lu Shanzhen等[6-8]在研究奇异积分算子时引入一类与PDE相关的比Herz空间和Morrey空间更一般的齐次Morrey-Herz 空间, 这类函数空间受到人们的重视, 得到了许多算子及交换子在其上有界性的结果, 受上述工作的启发, 考虑到与二阶散度型椭圆算子L相关的广义分数次积分算子交换子是否在齐次 Morrey-Herz空间上有界.本文中讨论了这个问题,得出广义分数次积分算子交换子[b,L-β/2]在Morrey-Herz空间上是有界的.

在叙述主要结果之前,给出一些必要的记号,Bk=(0,2k)={x∈Rn:|x|≤2k},Ak=Bk/Bk-1,k∈Z,χk=χAk,其中χAk表示Ak的特征函数,c表示不同的常数.

1 预备知识

定义1.1[6]设α∈R,λ≥0,0

(1.1)

(1.2)

(1.3)

引理1.2[5]假设条件(0.3)式成立,设0<α

‖[b,L-β/2](f)‖Lq(Rn)≤c‖b‖*‖f‖Lp(Rn).

引理1.3[9]设b∈BMO(Rn),∀k,j∈Z,k≥j,则|bk-bj|≤c(k-j)‖b*‖.

2 主要定理

本文中主要获得定理:

对于K,由引理1.2知[b,L-β/2]从Lq1(Rn)到Lq2(Rn)是有界的,得到

对于J,当x∈Ak,j≤k-2,y∈Aj,有 2k-2≤|x-y|≤2k+1,

根据Minkowski和Hölder不等式以及引理1.3,我们得到

再利用引理1.1和引理1.3我们得到

cb*2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn)+c2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn)(k-j)b*+

cb*2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn)≤c(k-j)b*2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn),

于是得到

(2.1)

类似于J估计过程对H进行估计.

‖[b,L-β/2](fj)χk‖Lq2(Rn)≤

根据Minkowski和Hölder不等式以及引理1.1利用引理1.3我们得到

b*2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn)+2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn)(j-k)b*+

b*2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn)≤c(j-k)b*2kn/q2·2jn(1-1/q1)‖fj‖Lq1(Rn),

于是我们得到估计

cb*(j-k)2(k-j)(n/q1-β)‖fj‖Lq1(Rn)

(2.2)

综合J,H,K的估计我们得到

‖

证毕.

[1] Stein E M.Singular integrals and differentiability properties of functions[M]. Princeton New Jersey:Princeton University Press, 1970.

[2] Chanillo S. A note on commutators[J]. Indiana Univ Math, 1982,31：7-16.

[3] Fan Dashan,LU Shanzhen,YANG Dachun.Regularity in Morrey spaces of strong solutions to nondvergence elliptic equations with VMO Coefficients[J].Georgian Math,1998(5):425-440.

[4] Fan Dn,LU Shanzhen,YANG. Boundedness of operators in Morrey spaces on homogenous spaces and its applications[J].Acta Math Sinica(N.S) SUPPL,1998,14:625-634.

[5] Duong X T, Yan L X.On commutators of fractional integrals[J]. Soc Math American,2004,132:35-49.

[6] Lu Shanzhen,Xu Lifang.Boundedness of rough singular integral operators on the homogeneous Morrey-Herz spaces[J].Hokkaido Math J,2005,34(2):299-314.

[7] Lu Shanzhen, Yang Dachun,Zhou Zusheng.Sublinear operators with rough Kernel on generalized Morrey spaces[J].Hokkaido Math J,1998,27(1):219-232.

[8] Lu shanzhen,Tang Lin,Yang Dachun. Boundedness of commutatots on the homogeneous Herz spaces[J].Sci China Ser A,1998,41(10):1023-1033.

[9] Lu Shanzhen, Yang Dachun. The continuity of commutators on Herz-type Spaces[J]. Michigan Math, 1997,44(2):255-280.

[10] Yang Dachun,Zhang Pu,Tang Canqin.Bounded of generalized fractional integral operators[J].Approx Theory & Its Appl,2002,18:34-54.