含多偏差变元Rayleigh型p-Laplacian方程周期解的存在性

陈仕洲

（韩山师范学院数学与应用数学系，广东潮州 521041）

1 引言及引理

关于具有偏差变元的p-Laplacian微分方程周期解存在性研究已有许多成果[1-5]，例如文献[4]、文献[5]分别研究了一类具偏差变元的Lienard型方程

和

周期解存在性.本文将利用重合度理论，研究一类含有多个偏差变元高阶p-Laplacian微分方程

存在周期解的问题，所得结果推广和改进了文献[5]的结果.这里φp(x)= | x|p-2x,p＞1,k,m,n都是正整数，c,r∈R，且 | c|≠1αi,μi,βj,τj,f,g,e∈C(R,R)都是周期为T＞0的函数.

全文约定：

其中 γi(t),σj(t)分别是t-μi(t),t-σj(t)的反函数，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n.

设 CT={φ:φ ∈C(R,R),φ(t+T)≡φ(t)} ， 范 数间.定义算子

将方程（3）改写为

定义算子

引理1[6]（Mawhiny延拓定理）设X,Y都是Banach空间，L:D(L)⊆X→Y是指标为零的Fredholm算子，Ω⊂X为有界开集，N→Y在上是L-紧的.若下列条件成立(1)Lx≠λNx,∀x∈∂Ω⋂D(L),λ∈(0,1)，(2)QNx≠0,∀x∈∂Ω⋂ker(L)，

(3)deg{JQN,Ω⋂ker(L),0}≠0,其中J:Im Q→Ker L为同构.则方程Lx=Nx在Ωˉ⋂D(L)中有解.

引理2 如果x∈Ck(R ,R),x(t +T)≡x(t),且∈[0 ,T],则

引理3[7]如果 ||c≠1，则A在CT上存在有界连续逆A-1，且∀u∈CT,则

引理4[8]如果 g则g(v ( t))∈C,其中v(t)为t-τ(t)的反函数.T

2 主要结论

定理1 设

(H 1)∃A,B∈(0 ,+∞) ,0＜α≤p-1,s.t.∀y∈R, | f(y) |≤A| y|α+B.

(H 2)(1) ∃d,g1,g2∈(0 ,+∞),s.t.∀| y |≥d,g1|y|α≤ |g (y) |≤g2| y |α.

(2) ug(u )＞0,∀| u |＞d.

(H 3) ∃0＜ε≪1,s.t.

(H 4 )下列条件之一成立：

2） α=p-1,且

其中

则方程（3）存在一个T-周期解.

证明 显然，方程（3）有一个T-周期解当且仅当Lx=Nx有一个T-周期解.考察方程Lx=λNx,λ∈(0 ,1).令Ω1={x :Lx=λNx,λ∈(0 ,1)}.若 x∈Ω1，则

由方程组（8）的第一个方程，得

代入方程组（8）的第二个方程得

由引理4，

类似可知

于是，由（11）有

改写（12）式为

其中0＜ε≪1如（H3）所定义.根据积分中值定理，∃ξ∈[0,T],s.t.

下证

其中常数

若 | x1(ξ)|≤d，则（15）显然成立.若 | x1(ξ)|＞d，记

则由（14）得

由条件(H2)容易推出

于是

因此（15）成立.再注意到（H2）和引理2

结合(15)可得

由方程（10）两边同乘以x1(t)，并在区间[0 , T]上积分即得

又

于是，可得

注意到

于是，有

下面分两种情形讨论：

情形I 若α=p-1,且

由(16)知存在与λ无关的常数M10＞0.s.t.| x1|∞≤M10.

由方程组（8）的第二个方程，可知

其中K=:max{| g (u)|:u∈[- M10,M10]},F=:max{| f (u)|:u∈[- M11,M11]}.

由方程组（8）的第一个方程在[ ]0,T积分得

从而∃t2∈[0 , T],s.t.x2(t2)=0.故

F(x,α)为同伦变换，从而

故 F(x,α)为同伦变换，从而

由引理1，方程Lx=Nx在Ωˉ⋂D(L)中有解.即方程（3）有一个T-周期解x1()t.

3 注记和例子

注记1 定理1中的条件（H2）的（2）换为(2)*ug(u)＜0,∀| u |＞d.其余条件不变，结论仍然成立.

注记2 令k=1,可见本文推广和改进了文献[5]的结果.

例考虑方程

对应于方程（3），令

由定理1，方程（18）存在一个2π周期解.

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