求解热传导方程的一族三层隐式差分格式

詹涌强

(华南理工大学广州学院基础部数学教研室，广东 广州 510800)

考虑热传导方程的初值问题

(1)

热传导方程的数值解法是计算数学中重要的研究内容，问题(1)的求解有许多较高精度的差分格式[1-4].本文中使用组合差商解法给出了一族求解问题(1)的三层九点隐式差分格式，格式的截断误差可达Oτ2+h4，证明格式是绝对稳定的，并用数值例子验证了格式的有效性.

1 差分近似

2 差分格式的建立

设时间步长为k，空间步长为h，取局部结点集为

xj-1，tn+1，xj，tn+1，xj+1，tn+1，xj-1，tn，xj，tn，xj+1，tn，xj-1，tn-1，xj，tn-1，xj+1，tn-1，

(2)

将9个节点上u的值在节点jh，nτ处作Taylor展开，并使用(2)式进行整理，可导出各差商的近似表达式：

用上述差商建立含参数的差分方程

(3)

(4)

(5)

为了使式(5)的截断误差达到Oτ2+h4，须满足下列方程组

(6)

在方程组(6)中，令c5=θ，可解得：

代入(3)得到一族三层九点隐式差分格式

(7)

3 稳定性分析

为证稳定性，先给出引理.

引理[5]实系数二次方程αx2+βx+γ=0(α>0)的两个根位于单位圆内或圆上，且一个根严格地在单位圆内的充要条件是

(8)

差分格式(7)是一个三层格式，为了讨论其稳定性，首先将其化成与之等价的二层差分方程组[6]

(9)

令W=u，vT，那么可以把方程组写成向量形式

(10)

G的特征方程是αλ2+βλ+γ=0，易得

以上3个不等式对任意0≤θ≤1.5，r>0均成立，故G的特征值按模都小于或等于1，且有一个严格地小于1，故当0≤θ≤1.5时差分格式(7)绝对稳定.

特别地，θ=1时，格式(7)成为

(11)

即文献[7]中的格式(13)，格式的截断误差为Oτ2+h4，格式(11)绝对稳定.

4 数值实验

用一个简单的例子来验证差分格式(7)的稳定性条件.对初边值问题

(12)

表1 r=0.5时差分格式(7)的数值解与精确解的绝对误差

表2 r=1时差分格式(7)的数值解与精确解的绝对误差

表3 r=2时差分格式(7)的数值解与精确解的绝对误差

结果表明，提出的差分格式(7)是求解热传导方程问题的一种有效的三层分格式.

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[2] Ma Mingshu，Wang Xiaofeng. a-high-order accuracy implicit difference scheme for solving the equation of parabolic type[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics，2000，15(2):94-97.

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