基于对角广义反射矩阵的线性微分系统及其周期解

孙长军

(连云港职业技术学院数学教研室， 江苏 连云港 222006)

0 引言

1981年，前苏联数学家Mironenko，在研究微分系统

(1)

(X(t+2ω，x)=X(t，x)，其中ω>0)的周期解与稳定性时，就首次引入了反射函数F(t，x)=φ(-t;t，x)[1]，并在1986年出版了世界上第一部反射函数理论专著，其思想是在通解未知的情况下，通过研究微分系统的反射函数，寻找其Poincaré 映射T(x)=F(-ω，x)=φ(ω;-ω，x)，从而解决它的周期解及稳定性[2].后来，Musafirov， Alisevich， Veresovich和周正新等又继续努力并研究出了新的成果[3-8].

笔者已将反射函数推广为广义反射函数[9]

F(t，x)=φ(α(t);t，x)

(2)

其中α(t)连续可微并满足α(α(t))=t，α(0)=0，把反射函数的研究成果进行拓展，为的是更好地研究微分系统(1)解的存在性和稳定性，并且已取得了一些成果[9-13].笔者用广义反射函数理论研究其周期解及稳定性，为了叙述方便，回顾一下已有的相关概念和结论.

(3)

其中P(t)是n×n连续可微，该微分系统的矩阵函数的广义反射函数为

F(t，x)=φ(α(t);t，x)=X(α(t))X-1(t)x=F(t)x

(4)

其广义反射矩阵为F(t)=X(α(t))X-1(t).

性质1[10，13]F(t)为系统(3)的广义反射矩阵的充要条件为

(5)

定义1线性微分系统(3)的广义反射函数矩阵F(t)，若满足F(t)P(t)=P(t)F(t)

(6)

则称(3)为可交换的线性微分系统.

引理1(基本引理) 已知X(t+2ω，x)=X(t，x)，如∃τ∈R，满足α(τ)=2ω+τ，则微分系统(1)的Poincaré 映射T(x)可以定义为T(x)=F(τ，x)=φ(α(τ);τ，x)，且微分系统(1)在区间[τ，τ+2ω]上有定义的解φ(t;τ，x)都为2ω-周期解.

1 主要结果

考虑线性微分系统

(7)

何时具有形如

(8)

的广义反射矩阵，这里M(t)，A(t)为n1×n1阶矩阵，D(t)，N(t)为n2×n2阶矩阵，B(t)为n1×n2阶矩阵，C(t)为n2×n1阶矩阵，n1+n2=n.

定理1的证明由广义反射矩阵性质(5)式有

F′(t)+F(t)P(t)=α′(t)P(α(t))F(t) ⟺

M′(t)+M(t)A(t)=α′(t)A(α(t))M(t)

(9)

M(t)B(t)=α′(t)B(α(t))N(t)，N′(t)+N(t)D(t)=α′(t)D(α(t))N(t)，N(t)C(t)=α′(t)C(α(t))M(t)

(10)

定理2对线性微分系统(7)，如A(t)，B(t)，C(t)，D(t)满足

(11)

(12)

则矩阵(8)为线性微分系统(7)的广义反射矩阵，此时

且

(13)

(14)

-A(t)M(t)+α′(t)A(α(t))M(t)，

又M(t)A(t)=A(t)M(t)，从而

M′(t)+M(t)A(t)-α′(t)A(α(t))M(t)=M′(t)+A(t)M(t)-α′(t)Α(α(t))M(t)=
-A(t)M(t)+α′(t)A(α(t))M(t)+A(t)M(t)-α′(t)A(α(t))M(t)=0.

由定理1得矩阵(8)为线性系统(7)的广义反射矩阵，且(13)，(14)式成立．

(1)当|T1-E1|=0或|T2-E2|=0时，线性微分系统(7)有无穷多个2ω-周期解；

(2)当|T1-E1|≠0且|T2-E2|≠0时，线性微分系统(7)有唯一2ω-周期解．

1)当|T1-E1|=0或|T2-E2|=0时，此时W=0，有无穷多个2ω-周期解；

2)当|T1-E1|≠0且|T2-E2|≠0时，|T1-E1|·|T2-E2|≠0时，即W≠0，此时线性系统(7)有唯一2ω-周期解.

由稳定性理论知结论成立.

推论1线性微分系统

(15)

若满足

则线性微分系统(15)的广义反射函数为

若P(t+2ω)=P(t) 则

[1] Mironenko V I. On the method that allows one to determine the initial data of periodic solution of differential systems and to compare the mappings for a period[J].Differential Equations， 1980，14 (11):1985-1994.

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