浅议高等数学在经济定量分析中的应用

杨 菲，白 婕

浅议高等数学在经济定量分析中的应用

杨 菲，白 婕

（天津市河西区职工大学，天津市 300203）

随着经济的发展，高等数学和经济的关系越来越密切，本文主要从微积分、无穷等比级数、数学归纳法三个方面阐述了高等数学在经济定量分析中的重要应用。

高等数学；经济；定量分析

目前在社会科学诸多领域中，运用数学最早、最成功的就是经济学。经济学主要研究商品的价格、市场供求、利润等范畴，所有的这些都以量的形式表现出来，因此经济学最先想到需要采取定量的方法。由于现代化生产发展的需要，高等数学中的微积分、级数、微分方程、数学归纳法等已进入经济学，并发挥了越来越重要的作用。前苏联数学家康托罗维奇在1975年获得了诺贝尔经济学奖，原因就在于他出色的数学成就－线性规划理论在经济中的重要贡献。经济定量分析研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型，下面笔者从三个方面介绍高等数学在经济中的应用。

一、微积分在经济中的应用

1．复利问题

所谓复利计息，就是将第一期的利息与本金之和作为第二期的本金，然后反复计息。

设本金为s0，年利率为r，

一年后的本利和s1＝s0（1＋r）

二年后的本利和s1＋s1r＝s1（1＋r）＝s0（1＋r）2

类推，n年末的本利和sn＝s0（1＋r）n（1）

若把一年均分成t期计算利息，这时，每期利率可以认为是r，于是推得t

公式（1）和（2）是离散情况（计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限）推得的复利公式。

公式（1）和（2）是离散情况（计息的“期”是确定的时间间隔，因而计息次数有限）推得的复利公式。

若计息的“期”的时间间隔无限缩短，则期数t→!，于是

公式（3）是连续情况（计息次数无限）推得的复利公式。

2．贴现问题

若称s0为现在值，sn为未来值，已知现在值求未来值是复利问题，反之，若已知未来值sn求现在值s0是贴现问题，这时利率r称为贴现率。

由复利公式（1）、（2）、（3），容易逆推得：

离散的贴现公式离散的贴现公式s0＝sn（1＋r）－n

（1′）

连续的贴现公式s0＝sne－rn（3′）

3．增长率

为函数y＝f（t）在时间点t的瞬时增长率。

若设f（t）＝s0ern，则

因此，f（t）＝s0ern在任何时间点t上都以比率r增长。

公式（3）不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。经济学中指数函数s0ern中r的一般解释为在任意时刻点t的增长率。r取负值时，表明负增长，这时称r为衰减率。企业的投资、人口、劳动力、国民收入等这些变量都是时间的函数，并且这些变量在一个较长的时间内通常以常数比率增长，我们可以用公式（3）来预测这些变量的未来值，这种预测对于经济活动的进行具有良好的指导作用。

例1 某国现有劳动力五千万，预计在今后的20年内劳动力每年增长2%，问按预计在2031年将有多少劳动力？

由于s0＝500，r＝0．02，t＝20所以，20年后预计有劳动力

s20＝5000e0．02×20＝5000×1．49182＝7459．12（万）例2 若我国的cpi指数每年均为5%，问多少年后，人民币贬值为现在的一半？

若原价值为s0，经n年后，价值为，这里r＝－0．05。由，若取ln2＝0．6931，易算出n＝13．86（年），即大约经过13．86年，人民币的价值贬值为原价值的一半。

二、无穷等比级数在经济中的应用

在经济生活中的投资费用包括初期投资和后期投资（每隔一定时期就要重复一系列服务或购进设备），如果将每次后期投资费用化为现值，然后与初期投资相加，可以用来比较间隔时间不同的服务项目或具有不同使用寿命的设备的投资费用，为选择投资费用最省的服务项目或设备发挥指导作用。

设初期投资为s0e－n，年利率为r，t年重复一次投资仍为s0。这样，根据公式（3′）推得

第一次重复投资费用的现值为s0e－n，第二次重复投资费用的现值为s0e－2n，类推得

（4）式是一个无穷等比数列的和。据无穷等比级数的性质：如果公比。

假设每年的物价膨胀百分率为，年利率为，若某种服务或项目的现在费用为s0时，则t年后的费用为

因此在通货膨胀情况下，计算总费用

例3 某厂需要一批设备，若引进进口设备需要初期投资200000元，每隔5年需要更换一次零件，每次更换的费用为50000元，使用寿命40年；若引进国产设备需要初期投资80000元，每隔2年需要更换一次零件，每次更换的费用为20000元，使用寿命20年，若年利率为10%，通货膨胀率5%，问引进哪种设备更合适？

投资设备费用包括两部分：引进设备的系列费用和更换零件的系列费用。

对引进进口设备，s0＝200000，r＝0．1，m＝0．05，t＝40，则引进设备系列费用根据公式（7）计算得

故使用进口设备的总费用现值为

D＝D1＋D2＝231303．53＋226040．58＝457344．11（元）

对引进国产设备，s0＝80000，r＝0．1，m＝0．05，t＝20，则引进设备系列费用根据公式（7）计算得D1′＝

故使用国产设备的总费用现值为

D′＝D1′＋D2′＝126558．14＋210166．64＝336724．78（元）

因为D＞D′，引进进口设备的总费用要大于国产设备的总费用，所以可以得出引进国产设备更合适。

三、数学归纳法在经济中的应用

对于一个关于自然数n的命题，可以利用数学归纳法进行证明。当n＝1时成立（将n＝1代入检验），我们就可以假设n＝k（k1）时命题也成立，如果能证明n＝k＋1时命题也成立的话（这一步通常使用第二步的假设证明的），从而命题对于n1的自然数都成立。数学归纳法可以用来证明通项公式的成立，这在经济定量分析有很重要的应用。下面以贷款还款为例介绍一下数学归纳法在经济中的应用。

假设还款方式为月等额还款，贷款金额S，贷款年限为N个月，年利率为R，月利率为，第n个

0月还款后尚欠银行的贷款为Sn，本月的还款为x，第（n－1）个月还款后尚欠银行的贷款为Sn－1，则可以推得如下结论：

例4 目前五年以上贷款年利率为6．80%，若贷款额为800000，贷款年限为240个月，按照月等额还款，每月应还多少钱？

四、结束语

上述高等数学在经济中的应用举例，表明了经济工作与高等数学紧密相连。数学应用于经济学，并不意味着简单地将数学中的公式、定理和结论照搬，而是需要进行创造性的研究。实际上，现今的经济学是应用数学的一个分支，经济学中的许多方法，比如线性规划、最优化理论等都是新创造的高等数学理论。国内外越来越多的经济研究者将高等数学作为经济分析的工具，使经济定量分析越来越精密化、准确化，特别是对经济预测提供了客观、准确的数据，为经济政策的制定提供了可靠的依据。因此，对于经济工作者而言，掌握一定的数学分析方法显得日益重要。

［1］丁石孙，张祖贵．数学与教育［M］．大连：大连理工大学出版社，2009．

The Application of Higher Mathe matics in Econo mic Quantitative Analysis

YANG Fei，BAI Jie

（Tianjin Hexi District Staf f and Wor kers University，Tianjin 300203 China）

With the economic develop ment，higher mathematics and economy are more closely related to each other．This article mainly demonstrates the application of higher mathematics in economic quantitative analysis in ter ms of calculus，infinite geometric series and mathematical induction．

higher mathematics；economy；quantitative analysis

O13

A

1673－582X（2012）02－0083－04

2011－06－09

杨菲（1982－），女，山东淄博人，天津市河西区职工大学教师，硕士，讲师，主要研究方向高等数学教学；白婕（1981－），女，山西太原人，天津市河西区职工大学教师，讲师，硕士学位，主要从事学校科研管理和教学工作，主要研究方向为法律理论与实践。