透视“错误”背后的教学空间

陈钱勇

（上虞市丰惠镇三溪小学，浙江 上虞 312000）

错误，是学生学习过程中的产物。面对学生的错误，教师可能会很苦恼，总是想尽力消除学生的学习错误。但是，不管教师愿意或不愿意，错误还是会顽强地出现在学生的学习过程中。学生的学习，就是出错与改错的过程。其实，教师大可不必为错误而烦恼。换个角度想想，错误也并不一定是学生学习的失败，也可以是一种成功——因为这就意味着学生知道了这种方法是不可行的。重要的是教师要善于读懂学生的错误，做出合理而有效的教学跟进。

一、从错误中读出学生的认知经验

学生先前的知识、经验并不总是促进自己的学习，有时会产生负迁移，诱导学生做出错误的解答。这就需要教师从学生的错误中读懂致使学生出错的那部分经验与知识，进行有效地改造、重组，形成新的认知经验。

如学习连减的简便计算，笔者在练习时安排了一定量的同类型连减巩固题后，让学生解决这样一题（人教版四年下册数学）：

有不少学生顺着前面的思路，列出了这样的算式：

2255-（345+255）=2255-600=1655（元）和 2255-345-255=1655（元）。

学生显然是按着前面连减问题的解题经验，依样画葫芦列式解答。他们没有认识到2255元是原价减去345元，再减去245元得到的，要求原价，应该逆向思考，在2255的基础上加上两次减去的钱，即：2255+345+255=2855元。

评价时，笔者把学生的这种错误解答写在黑板上，先让学生看这种解答，思考：根据题意，原价可能比现价低吗？题目说的是什么意思？应该怎样求原价？在此基础上然后再讨论正确的解答。

学生的学习过程中，像这样运用已有经验解决新问题是很正常的学习方式，也是定势心理的反映。定势心理是一把双刃剑，既能促进学生的学习，也会阻碍学生的学习。在课堂上教师要及时读懂这样的错误，重新定位学生的学习起点，调整教学计划，做出有效的教学处理。

二、从错误中读出学生的合理想法

孩子的错误，表面看似毫无道理，但如果教师能真正走入孩子的思维世界，总能读出其中蕴含的合理因素。

学过既有加减、又有乘除的四则运算后，笔者出了这样一个问题：一头羊重42千克，一头牛的体重是一头羊的8倍。一头羊和一头牛一共重多少千克？一头羊比一头牛轻多少千克？

一位同学在解答第二个问题时，列式正确：336-42（336为计算出来的牛的质量）。然而，在计算上出现了错误。他是这样算的：336-42=258（千克）。

看到这样的结果，笔者既生气又困惑：他为什么会得出这样的结果？笔者努力地去揣测他是怎样算出来的：个位上的8，可能是把减法算成了加法（6+2）；百位上的2倒也是好理解（十位上不够减从百位退一就成了2，这并不错）；但是十位上的5，笔者一下子也推测不出是怎样的一种错误思路造成的。正好，他就在笔者身边，于是，决定听听他计算时的想法。

师指着8，问：这个8是怎么来的？

生：10-2=8。

笔者原以为他会说6+2=8，出乎意料，学生的思维确实很难以老师的主观臆想去预测。

师：10从哪儿来的？

生：从前一位退一到个位，就是十。

疑惑：明明6-2是可以减的，为什么要从十位退一？

师继续问：那这个5又是怎么来的？

生：也是向前一位退一作十，刚才个位上已经借去了一个一，这个10剩下了9，9-4=5。

师：那这个2呢？

生：300中拿出100去减42了，所以只剩下200了。

到这儿，清楚了他错误的原因：在计算336-42时，只算了300-42，丢掉了36，得出了258的错误结果。

于是，笔者提醒他：36到哪儿去了？

他不好意思地搔了搔头，说：忘了。很快便纠正了错误。

这位学生的错误结果，粗看，很不合理。但通过与他的对话，笔者发现了合理因素：他采取的是口算的思路，只是在口算的过程中，出现了数据遗漏，导致错误。

如果没有与他的这一段对话，教师是很难想到336-42=258这一错题背后还有这些合理的因素。自然，也很难针对性地指导他纠正自己的错误。在批改学生的作业时，教师要善于转换自己的角色，以学生的角度来想想学生为什么这样做？这样做有哪些合理因素？不合理的因素在哪儿，等等。只有这样，我们才能更有效地解决学生的错误，真正抓在学生的“痒”处。

三、从错误中读出学生的创新思维

有些孩子的错误，看似错误，实则却是创新思维的反映。错误，其实是教师对学生思维的误读。

学生在学习百分数问题后，解答这样一题：2005年我国火车第五次提速。某列火车从A市到B市，原来的平均速度为100千米/时，行完全程需8小时，现在行驶完全程只需6小时。

（1）现在所用的时间比原来缩短了百分之几？

（2）这列火车的平均速度比原来提高了百分之几？（百分号前保留一位小数）

第二个问题有小部分学生是这样解答的：

100×（1-25%）=75 千米/小时

100-75=25 千米/小时

25÷75≈33.3%。

这种方法笔者很不解。在看到上面的问题时，笔者预设了这样几种解法：

（1）先求现在速度：100×8÷6=400/3（千米/小时）

再求提高的百分率：（400/3-100）÷100≈33.3%。

（2）把甲乙两地路程看作“1”，得出现在的速度是（1/6-1/8）÷1/8≈33.3%。

（3）由原来时间和现在时间得出时间比：8∶6=4∶3，根据速度比与时间比是反比关系可知速度比为3∶4，得出：（4-3）÷3≈33.3%。

（4）由速度比3∶4可知现在速度是原来速度的4/3，现在速度比原来速度提高百分之几也可如下解答：

（4/3-1）÷1≈33.3%。

少数学生的方法让笔者意料不到。批改过程中，问了这些学生，想听听他们的想法，但他们也只知其然而不知其所以然。于是，笔者认为解答方法没有道理，打上了错号。虽然打上了错号，但这种方法却一直在笔者心中纠结：它是不是真的没有道理？晚上继续对这种方法进行了再次解读。

首先想到是不是因为速度的数据产生巧合呢？于是换个数据再试，结果相同，看来并非巧合。进一步思考，把速度看作“1”，这种方法就成为：1×25%÷（1×75%）≈33.3%。

出现了一个新的问题：“1”的25%是谁？“1”的75%又指谁？

由这个问题出发，笔者觉得这种方法的解题思路可能是这样的：由原来与现在的时间比4∶3，得出原来与现在的速度比是3∶4，这也就是说原来的速度是现在速度的75%，原来速度比现在速度少25%。如果把现在速度看作“1”，那么现在速度比原来速度快百分之几，就是1×25%÷（1×75%）≈33.3%。如果把现在速度看作120千米/时，则是 120×25%÷（120×75%）≈33.3%，与前面如出一辙。看作100千米，自然也是可如此解释。

学生解答时，并不一定会如此深入思考，也不一定能清楚地用语言表达出来。但他们的直觉告诉他们可以这样解答。由于笔者没有及时读懂学生潜在的有价值的思维，轻率地下了错误的判断，一个值得进一步研究、讨论的资源，被轻易地浪费了。如果能够及时读懂，组织学生进行深入的探究，必然能够取得更好的生成效果。

四、从错误中读出学生的提取障碍

有的错误，学生并不是不会做，而是信息选择、提取的障碍。出现这样的错误，根源是一种选择性错误（郜舒竹教授语），即面对具体的问题时，学生不能正确地从自己的知识系统中选择、提取哪些知识、信息来解决这个问题，出现了选择上的混乱，导致错误。

例如，125×64×25，要求学生简便计算，有不少学生会这样去解答：

125×64×25

=125×8×8×25

=125×8+8×25

=1100

出现这样的错误，便是学生搞不清到底是选择乘法分配律还是选择乘法结合律来简便计算，错误地选择了乘法分配律简算，导致错误。

知识存储在学生的头脑之中，不能成为静态的知识，那只会给学生增加负担。教师要努力让学生头脑中的知识活起来，合理选择，提取知识，应用知识，学习新的知识。

五、从错误中读出学生的不良习惯

学生的错误，有认知缺陷的原因，也有习惯不良的原因。从学生的作业中，不难发现这样的错误。

学了四则混合运算后，有几位学生在进行计算时，总是这样书写：

75+125÷25-25

=125÷25

=75+5

=80-25

=55

这样的计算，如果单从结果的角度上看，并没有错误，而且运算顺序也正确。但从整个计算过程看，却是错误的。原因就是没有保证计算过程的恒等。这除了缺乏一种守恒的意识外，不良的学习习惯也不能不说是一个原因。类似的现象还有数字抄错、运算符号抄错等等，教师称之为粗心、马虎的毛病，其实都是一种习惯的缺陷。

对这些错误，不仅要重视学生良好习惯的养成，同时也要加强数学守恒思想的渗透与培养，从前后恒等的角度出发，发现自己的错误，纠正自己的错误。

六、从错误中读出教师的教学盲点

从错误中不仅要读懂学生，还要审视教师的教学行为，读出教学中的盲点与失误，以更好地改进教学。

在学习简便计算中，有一节课是利用减法运算性质a-b-c=a-（b+c）来简算。课堂上，笔者只关注、教学了这一基本形式，而忽视了该性质的变式练习。结果，作业中出现了变式题目：4507-（507-1658）。很多学生这样做：

4507-（507-1658）

=4507-507-1658

=4000-1658

=2342

学生为什么会这样做？更多地还是受减法运算性质A-B-C=A-（B+C）的影响，负迁移到这一题，4507-（507-1658）就等于4507-507-1658了。

出现这样的错误，教师首先得反思自己的教学，正是由于自己在教学中没有足够地考虑、重视连减的简便计算的变式，才造成了学生学习的困难与错误。如果事先能够设计一个问题情境，在情境中学习这个变式，学生必然能够很好地掌握。学生的错误，有时正像一面镜子，映照着教师的教学是不是扎实有效。

七、从错误中读出课堂的探究视点

学生的错误，往往就是学生新旧知识间的矛盾冲突的产物。读懂错误，找到矛盾点，也就找到了课堂教学的探究点，为有效突破教学难点打下了扎实基础。

如一位教师在教学“除法竖式”一课，设计了“24÷2”和“72÷3”两道例题。

教学过程中，教师首先用“分小棒”的方法讲解“24÷2”，把2捆每捆10根零4根小棒平均分给2个人。第一步先分2捆，每人得1捆；第二步再把剩下的4根小棒平均分给2人，每人得2根；第三步，把每人分得的1捆和2根相加得到最后结果12根；最后结合分小棒过程写出竖式。

随后，教师让学生用同样的方法自主探究计算“72÷3”。但是，直到下课，学生还是徘徊在错误之中，探究不出来。

学生为什么会探究不出来，为什么会出错？通过对两道例题的对比分析，可以发现，72÷3要比24÷2更多一些思考点，而且有的思考点24÷2不相同。如“7捆平均分给3个人不能平均分，怎么办？”“7捆拆分成6捆和1捆”等。正是这些因素，造成了学生的学习困难和错误。

读懂了这一点之后，教师可以把教学的探究点放在将“无法分”的情况转化为“可以分”的情况，这样便能有效突破难点。

总而言之，学生的学习错误，是学习过程的应然现象。错误并不可怕，相反，错误可以是美丽的。重要的是，教师用怎样的心态去面对错误。只有当教师用心去读懂错误时，便会发现，原来错误是一种别样的精彩。

[1]陈钱勇.读懂学生的思维[J].中小学数学（小学版），2010（11）.

[2]郜舒竹.为何“探究不出来”——兼谈教学难点的分析方法[J].人民教育，2009（8）.

[3]施国柱.关注学生数学草稿，促进思维有序发展[J].教学月刊（小学数学），2010（6）.

[4]张秋爽.读懂学生，反思自我——三道期末考试题的剖析[J].教学月刊（小学数学），2010（10）.

[5]刘勇.学生错误情况[OL].视频地址http://v.youku.com/v_show/id_XMTA1MTI3Njc2.html.