李 静,许金刚,王勤龙
(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)
一类生物入侵模型的精确行波解
李 静,许金刚,王勤龙
(长江大学信息与数学学院,湖北 荆州 434023)
研究了一类一维生物入侵模型的行波解问题。通过计算奇点量以确定系统的可积性,找到相应系统的首次积分,然后运用动力系统分支的定性理论方法,最后获得一些有界行波解显式表达式。
精确解;生物入侵模型;可积性;奇点量
近年来非线性发展方程的精确解,在解释生物种群时空动态变化规律,特别是在生物入侵现象的研究中发挥越来越重要的作用。下面,笔者将讨论S. Petrovskii等[1]所建立单生物入侵模型的精确解问题:
(1)
式中,U是虫口密度;K为环境承载量;U0为Allee效应临界值;α为种群的内禀增长率;参数A0是风或水的流速;A1是因生物学机制而导致的迁移速度。
经过无维变量替换后,模型(1)能简化为下非线性偏微分方程:
ut+(a0+a1u)ux=uxx-βu+(1+β)u2-u3
(2)
式中,β=U0K-1,a0=A0K-1(αD)-1/2,a1=2A1(αD)-1/2。但文献[1]只考虑了β>0的部分精确解问题。假设方程(2)有以下形式的行波解:
u(x,t)=u(ξ)ξ=x-ct
(3)
式中,c是波速。将式(3)代入式(2)中有:
u″(ξ)=(a0-c+a1u(ξ))u′(ξ)+βu(ξ)-(1+β)u2(ξ)+u3(ξ)
(4)
(5)
下面,笔者将通过计算奇点量以确定系统的可积性。
显然,系统(5)有3个奇点O(0,0),O1(1,0),O2(β,0)。特别地,可以利用文献[2]所提供的计算奇点量的方法来分析原点邻域的可积性,由此有:
定理1在c=a0的条件下,当且仅当a1=0时系统(5)可积,此时它的首次积分是:
(6)
证明利用奇点量的计算结果,必要性是显而易见的;然后通过验证首次积分,即可以完成充分性证明。
考虑上述Hamilton常数在3个奇点处的取值,令:
分析C1=C2或C1=C3或C2=C3的情形,可以得到以下结论:
进一步通过分析C1≠C2或C1≠C3或C2≠C3的情形,有:
(7)
(8)
由此,可以得到一系列行波解[3]:
(i)当β=2时:
(ii)当β=1/2时:
(iii)当β=-1时:
同时由对应的周期轨道,也可以分别获得Jacobi椭圆函数周期解:
(i)当β=2时:
(ii)当β=1/2时:
(iii)当β=-1时:
(i)当鞍点为O(0,0),即当β>2或0<β<1/2时:
(ii)当鞍点是O1(1,0),即当1/2<β<1或β<-1时:
(iii)当鞍点是O2(β,0),即当-1<β<0或1<β<2时:
同时由其中所对应的周期轨道,也获得可以相应的Jacobi椭圆函数周期解:
笔者的研究结果是在特殊条件c=a0、a1=0下所获得的,但这些也可以显示在生物入侵传播的一些实际的模式中,如外来物种的入侵速度仅取决于风流或水流的速度A0,而不是由于生物学机制而导致迁移的情形。同时也可以看到,无论是β> 0还是β≤0始终存在着孤立波、正反扭子波、周期波这3种类型的入侵传播模式。
[1]Petrovskii S V, Li B L. An exactly solvable model of population dynamics with density-dependent migrations and the Allee effect[J].Mathematical Biosciences, 2003,186:79-91.
[2] 刘一戎,李继彬.论复自治微分系统的奇点量[J].中国科学(A),1989(3):245-255.
[3] Li Ji-bin, Dai Hui-hui.On the Study of Singular Nonlinear Traveling Wave Equations: Danamical System Approach[M]. Beijing: Science Press,2007.
[编辑] 洪云飞
10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.11.002
O175 12
A
16731409(2012)11N00403