直齿变位齿轮的参数化设计及优化

余志永，郑清春，郭津津，李纪峰

(天津理工大学，复杂系统控制理论及应用重点实验室，天津市 300384)

0 前言

Pro/ENGINEER(Pro/E)是由美国PTC公司开发的三维CAD/CAM/CAE系列参数化软件，主要用于产品外观设计、结构设计、仿真、模具设计、分析优化、NC加工等产品研发领域。

齿轮在机械行业中有广泛的应用，但在Pro/E软件中却不能直接生成，需进行复杂的建模过程。同时，齿轮建模过程中，模数、齿数不同，其齿根圆与基圆的大小关系将发生变化，则相关的建模过程也略有不同。本文基于齿轮渐开线的生成原理，应用Pro/E中的Program程序，研制出同步变位直齿圆柱齿轮实体造型的自动化设计程序。程序可根据中心距、模数、齿数等参数计算出变位系数，并可进行建模过程的判断选择，建立齿轮的三维模型。同时，论文应用Pro/M对齿轮进行了有限元分析及优化设计。

1 基于Pro/Program的变位齿轮的建模技术

Pro/Program是一个记录文件，记录着模型的成型步骤等信息，其大部分内容是由Pro/E程序自动产生的，即每建立一个特征，Pro/E就会产生该特征的程序代码，用户则可以根据设计意图对其进行编辑。Pro/E中Program的内容都有相同的格式，大致可分为五个部分。

(1)标题;

(2) 输入．．．结束输入 (INPUT．．．END INPUT);

(3)关系式．．．结束关系式 (RELATION．．．END RELATION);

(4) 添加特征．．．结束添加 (ADD FEATURE．．．END ADD);

(5)质量程序．．．结束质量程序 (MASSPROP．．．END MASSPROP) 。

其中 (1)和 (4)部分是由Pro/E自动产生，其余部分由用户自行输入。通过对Program的编辑，可以实现Pro/E自动控制特征的创建，生成不同的模型。

1.1 齿轮的参数化建模背景

变位齿轮的齿廓形状与齿轮齿数、模数、变位系数和压力角有关。根据齿轮的基圆与齿根圆的关系，齿轮的齿廓结构有两种，如图1a所示的基圆大于齿根圆的情况以及如图1b所示的基圆小于齿根圆的情况。

图1 变位齿轮齿廓的两种情况Fig.1 Two phenomena of teeth outlines of modified gear

为了能使pro/E中建立的变位齿轮的参数化模型同时满足上述两种情况，本文在program中添加关系以计算齿轮的齿根圆、基圆等参数的大小，并根据齿根圆和基圆的大小判断并选择不同的建模程序，生成符合参数要求的齿轮模型。建立的模型可实现在后面的Pro/M分析中，能对其施加载荷进行分析。表1为建模时各参数的初始值。

表1 齿轮各参数初始值Tab.1 Initial valuesof each parameter of gear

1.2 参数化建模的步骤

(1)在Pro/E中，建立出Df＞Db的齿廓模型 (A=305 mmZ=30个，M=10 mm。先创建基圆与齿顶圆之间的部分再创建齿根圆与基圆之间的部分);

(2)编辑系统生成的Program程序，添加相关的程序语句。包括:添加输入模块和关系模块并且在程序中添加if……end if语句。根据关系语句计算出来的Df和Db的值来判断是否执行齿根圆和基圆之间部分齿形所生成的特征。如果Df＜Db则生成齿根圆和基圆之间部分齿形，否则不生成。

1.3 齿轮参数化建模结果

图2a和图2b分别为齿根圆小于和大于基圆的情况，其齿形分别与图1的两种情况吻合。说明在本模型中齿廓能根据情况显示，对齿轮分析优化提供了强大的支持。

图2 两种情况的齿轮模型Fig.2 Gear models under two conditions

2 基于Pro/Mechanica的齿轮分析及优化

很多大型有限元分析软件的建模功能都比较弱，主要是创建一些简单的三维模型;对于复杂的零件或组件的分析，通常是先在CAD软件中建模，再用软件接口或者是将工作图形通过IGES或者STEP等格式导入分析软件。这样导致CAE工程师要花很多的时间和精力来对这些模型进行简化和修补，降低了工作效率。基于Pro/E基础上的有限元分析软件Pro/Mechanica(Pro/M)，实现了与Pro/E的无缝连接，将几何建模和有限元的分析集成在一起。

本文分析中的材料、边界条件及优化目标和变量是根据项目的要求进行设置。当模数为10 mm时，在最大应力小于170 MPa以及最大应变小于0.03 mm的情况下要求总质量最小。

2.1 创建材料、约束、载荷

在Pro/E中切换到Pro/M模块:

(1)设置材料为steel(参数修改部分略);

(2)设置约束。本文中设置轴孔面完全约束

(3)设置载荷。齿轮分析时，其载荷为线载荷，添加载荷的直线为齿廓面与齿顶圆面的交线。载荷方向线为在齿轮宽度的中间平面上做过添加载荷直线做一条直线，并使这直线垂直于齿廓，大小为1 000 N。

(4)网格的划分。本文进行网格划分时，网格要选择控制线。其控制线的选择及划分的网格如图3所示。

图3 网格控制线及网格Fig.3 Grid control line and grid

2.2 静态分析

静态分析可对模型的应力、应变等静态特性进行分析，也叫做设计验证。本文分别对模型的应力和应变进行分析，并进行优化。图4所示为模型所受的应力和变形。系统在监控窗口显示出齿轮的质量，当前的总质量21.59757 kg。

图4 初始条件下模型的应力和应变图Fig.4 Stress and strain of model under initial condition

图4 a、图4b分别为模型所受的应力和应变云图。其中最大应力为134.6 MPa;最大变形为0.001957 mm。满足设计要求，但有一定的裕度，因此对齿轮的结构及参数进行分析优化，确定质量为最小的情况下的优化参数。

2.3 敏感度分析

通过灵敏度分析，可在众多设计参数中确定应力、应变等随一些参数变化而变化情况和趋势。敏感度分析能更完整地了解变更造型对模型的影响。图5为模型敏感度分析的结果。

图5 敏感度分析结果Fig.5 Result of sensitivity analysis

图5a为最大应力随齿数变化的曲线，当齿数为31时最大应力最大，当齿数为30时最大应力最小;图5b为最大应变随齿数变化的情况，其中当齿数为31时模型的最大应变最大;图5c为质量随齿数变化的情况当齿数为30时质量最大。

2.4 优化及分析

优化设计就是指由用户指定研究目标、约束条件和设计参数等，然后在参数的指定范围内求出可满足研究目标的最佳目标。本文中优化分析的目标是使得齿轮的质量最小，约束条件是最大应力小于170 MPa，最大应变小于0.03 mm，参数为齿数Z3和K1、K2、K3其设置见表2。

表2 参数设置Tab.2 Parameter setting

运用Pro/M优化分析产生最优结果其优化后的结果与优化前参数对比见表3。

表3 优化结果和初始值的对比Tab.3 Contrast between optimization results and initial values

由表3可知最优化的结果出现在当K1=15 mm、K2=20 mm、K3=25 mm、Z3=28 mm时。此时的总质量为11.605 kg，最大应力为146.9 MPa，最大应变为0.002012 mm。优化设计后的齿轮较优化前的齿轮重量减少了46%。

3 结论

本文基于Pro/Program对直齿变位齿轮进行参数化建模，可根据相关参数的变化，自动建立出相应的模型。

文中运用Pro/M对齿轮模型进行了静态分析，得出应力分布及应变的力学特性;论文利用Pro/M的敏感度分析功能，研究了齿数对最大应力、最大应变及总体质量的影响;应用优化功能，优化了齿轮的结构参数。

通过对直齿变位齿轮的Pro/Program的程序开发，使得设计人员在利用Pro/M进行优化分析时，能够更快速精确的获得齿轮的优化模型。

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