一类准严格对角占优矩阵的可逆性＊

陈秀梅

（潍坊学院，山东 潍坊 261061）

1 引言

设A＝（aij）为n阶矩阵，矩阵A称为对角占优矩阵

严格对角占优矩阵是在数值计算、控制论中经常用到的一类矩阵，我们已经熟知它一定是可逆矩阵，本文主要讨论一种比严格对角占优矩阵要稍弱一些的矩阵的可逆性。

2 主要结果

定理 如果n阶矩阵A＝（aij）满足：对任意1≤i，j≤n的，且i≠j，都有｜aiiajj｜＞RiRj，则矩阵A 是可逆矩阵。

证明 由条件知，对1≤i≤n，都有aij≠0。

（1）如果对1≤i≤n，都有｜aij｜＞Ri，即A严格对角占优，则矩阵A可逆。

（2）如果存在某个k∈｛1，…，n｝，使得｜akk｜≤Rk，则由条件知，这样的k只有一个，从而对1≤i≤n，且i≠k，都有｜aii｜＞Ri。

取P＝diag｛p1，…，pn｝，其中，对所有的i≠k，pi＝1，而pk为大于1的待定的正数。显然P可逆，故只需选择合适的pk使得p-1AP严格对角占优即可证明A可逆。

矩阵A称为严格对角占优矩阵，是指＋｜aik｜pk＝Ri＋｜aik｜（pk-1）。因此为使P-1AP严格对角占优，只需取合适的所有的i≠k，Ri＋｜aik｜（pk-1）＜｜aii｜。

因此可以取到pk使得P-1AP严格对角占优，从而A可逆。

推论 设n阶矩阵A＝（aij）的所有对角元非零，且A是对角占优矩阵，又除了i＝1，…，n的一个值以外，对所有其他的值有｜aii｜＞Ri，则矩阵A是可逆矩阵。

[1]Horn R A.矩阵分析[M].杨奇，译.北京：机械工业出版社，2005：245-250.

[2]高益明.广义对角占优矩阵与 M-矩阵的判定准则[J].高等学校计算数学学报，1992，14（3）：233-239.

[3]郭希娟，高益明.广义严格对角占优矩阵与非奇 M矩阵的判定[J].高等学校计算数学学报，1999，21（2）：189-192.