用展开法求正则长波方程的新解

曾玉婷,陈 浩

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州 510631)

曾玉婷,陈 浩*

(华南师范大学物理与电信工程学院，广东广州 510631)

BENJAMIN等[1]在1971年提出了正则长波方程(Regularized-Long-Wave Equation)，简称RLW方程：

(1)

其中a,b,d为常数．

通过行波变换u(x,t)=u(ξ)，ξ=x-Vt，方程(1)可化为

(2)

其中u′=uξ=du/dξ．积分一次，得到

(3)

m+2=2m．

(4)

可得m=2．

(5)

其中G(ξ)满足二阶常微分方程，

G″+G′+μ=0，

(6)

(7)

由式(7)易得

(2α2μ+α1

(8)

及

(8α2μ+3α1

(2α1μ+6α2μ.

(9)

常数项：

Va(2α2μ+μα1

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

解由式(10)～(14)组成的方程组可得

(15)

此时代回式(5)可以得到方程(1)的形式解：

(16)

(17)

所以

(18)

代回式(16)可得方程的解，则

(19)

这是一个新的孤子解．

(20)

与文献[9]作比较，即RLW方程中系数取为a=β,b=-1,d=-α，此时式(20)变为：

(21)

在文献[9]中当p=2时方程由推广的RLW方程变成RLW方程，它的解为：

(22)

解(21)与解(22)在形式上都是sech2解，只是,μ等系数可以取不同的值，这说明求出新的孤子解(19)在满足的条件下，可以变形得出经典解．图1是取一定的初始条件时的孤子解(19)的图像.

图1 钟形孤子解

按孤子稳定性的论证[10]，可以证明孤子解(19)在受到小扰动时，孤子的能量和波形、波速都是稳定的．

G=e(cosξ+sinξ)，

(23)

(24)

(25)

这是一个周期解．方程的图像如图2所示，从图中可以看出这是一个周期解，不是孤子解．

G=e(C1+C2ξ).

(26)

则

(27)

(28)

这是有理式解,解的图像如图3所示，易知解(28)的能量是不稳定的，在受到小扰动后波形会发生变化，不是稳定解．所以此解并无特殊意义．

图2 周期解

图3 有理式解

2 结论

[1] BENJAMIN T B，BONA J L，MAHONY J J．Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems[J]．Phill Trans R Soc Lond A，1972，272：47-78．

[2] MORRISON P J，MEISS J D，CAREY J R．Scattering of RLW solitary waves[J]．Physica，1984：324-336．

[3] YAN C T．Regularized long wave equation and inverse scattering transform[J]．Phys，1993，24：2618-2630．

[4] BEKIR A．New exact travelling wave solutions for regularized long-wave，phi-four and Drinfeld-Sokolov equations[J]．Int J Nonlinear Sci，2007，6：46-52

[5] LEWIS J C，TJON J A．Resonant production of solitons in the RLW equation[J]．Phys Lett A，1979，73： 63-72．

[6] RASLAN K R．A computational method for the regularized long wave (RLW) equation[J]．Appl Math Comput，2005，167(26)：1101-1118．

[7] 李志斌．非线性数学物理方程的行波解[M]．北京：科学出版社，2007．

[8] WANG M L，LI X Z，ZHANG J L．The (G′/G)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics [J]．Phys Lett A，2008，372：417．

[10] 庞小峰．孤子物理学[M]．重庆：重庆科技出版社，2000．

ZENG Yuting，CHEN Hao*

(School of Physics & Telecommunication Engineering，South China Normal University，Guangzhou 510631，China)

2011-03-18

*通讯作者，chenhao@scnu.edu.cn

1000-5463(2012)01-0072-04

O481．3

A

【责任编辑 庄晓琼】