求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法

孔祥强 (菏泽学院数学系，山东 菏泽 274000)

求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法

孔祥强 (菏泽学院数学系，山东 菏泽 274000)

给出了求解病态线性方程组的一种新的Jacobi迭代算法，证明了算法的收敛性，并通过算例说明了算法的实用性和有效性。

Jacobi迭代法;病态线性方程组;收敛性

Jacobi迭代法是解线性方程组的一种有效方法，它具有存储量小、程序简单的特点[1]。但当方程组的系数矩阵为病态时，该方法不能再使用。下面，笔者给出了一类全新的Jacobi迭代算法。

1 Jacobi迭代法

设A=(aij)∈Rn×n,且A为非奇异矩阵,b∈Rn,线性代数方程组Ax=b有解的一阶定常迭代法为x(k+1)=Bx(k)+f,其中B=(bij)∈Rn×n。记J为Jacobi法的迭代矩阵，则J=D-1(L+U)。式中：

Jacobi迭代法[1]的矩阵形式为：

x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b

(1)

分量形式为：

(2)

2 新的Jacobi迭代法及收敛性证明

设Ax=b,其中A非奇异且病态。令A=D+M,则Dx+Mx=b,在两边同时加上扰动项ωFx(ωgt;0,F为矩阵),ωgt;0,变为:(D+ωF)x=b+(ωF-M)x,则新的Jacobi迭代格式为：

(3)

定义1[2]设A∈Rn×n，若存在正对角矩阵D，使AD为严格对角占优矩阵，则称A为广义严格对角占优矩阵。

引理1[2]设A=(aij)∈Rn×n为广义严格对角占优矩阵,则aii≠0,且det(A)≠0。

引理2[2]严格对角占优矩阵、不可约对角占优矩阵,均为广义严格对角占优矩阵。

为方便起见,不妨设F=diag(f1,f2,…,fn)为对角矩阵。

下面给出不同于文献[3]的迭代法。

定理1设A为广义严格对角占优矩阵,ωgt;0,且矩阵F的对角元素满足：

则新的Jacobi迭代法(3)收敛。

令Ax=b的新的Jacobi法的迭代矩阵G=(D+ωF)-1(ωF-M),考察G的特征值，即考察G的特征方程的根:

依引理1,aii≠0(i=1,2,…,n)，于是:

若能证明，当|λ|≥1 时，则det(C)≠0，于是G的特征根绝对值均小于1，由迭代法基本定理[4]，解Ax=b的新的Jacobi迭代法收敛。事实上：

当|λ|≥1且λ≥1时，|cii|=|λ(aii+ωf1)ei-ωf1ei|(ωgt;0)。

λ≤-1时的情形与λ≥1类似，不再重复。

推论1在定理1,若A为严格对角占优矩阵(或不可约对角占优矩阵)，则依引理2，结论仍成立。

推论2在定理1，若取：

下面给出式(3)的分量形式：

(4)

3 数值算例

解若按Jacobi迭代法，式(2)不收敛；按新的Jacobi迭代法，式(4)所得解如表1所示；精确解x*=(1,1,1)T。

表1 初值x(0)=(0,0,0)T,迭代 9步结果

若采用文献[5]的方法，至少迭代31步，才有上述的结果。

解若按Jacobi迭代法，式(2)不收敛；按新的Jacobi迭代法，式(4)所得解如表2所示； 精确解x*=(1,1,1，1)T。

表2 初值x(0)=(0,0,0,0)T,迭代 23步结果

若采用文献[6]的方法，迭代的次数远超过23次。

从表1和表2看出,ω取不同的值时,式(4)的收敛速度不同。相同迭代步数下的误差相差明显。

4 结 语

构造了一种病态线性方程组的高效迭代算法，该方法具有以下优点：计算效率高，以较快的速度收敛，一般只需数十次迭代，即可求得满足精度的近似解；该方法的收敛速度，不受矩阵阶数的限制；迭代公式中ω的选取具有灵活性，ω的适当选取，会使计算简便。

[1]关治,陈景良.数值计算方法[M].北京:清华大学出版社,2000.

[2]程公鹏.矩阵论[M].西安:西北工业大学出版社,1999.

[3]林胜良.病态线性方程组解法研究[D].杭州:浙江大学,2005.

[4]易大义,陈道琦.数值分析引论[M].杭州:浙江大学出版社,2001:305-408.

[5]张艳英,张苹苹.病态方程组的一种精确解法[J].哈尔滨工业大学学报,1995,27(6)：26-28.

[6]富明慧,张文志.病态代数方程的精细积分解法[J].计算力学学报,2011,28(4):530-534.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.03.003

O241.6

A

1673-1409(2012)03-N007-03

2011-12-28

山东省统计局重点课题项目(KT11048)；山东省教育科学“十二五”规划重点课题项目(2011GG049)。

孔祥强(1983-)，男，2005年大学毕业，硕士，助教，现主要从事应用数学方面的教学与研究工作。