路径约束的时间最短多脉冲交会全局优化

李九天, 罗亚中, 唐国金

(国防科学技术大学 航天与材料工程学院, 湖南 长沙 410073)

路径约束的时间最短多脉冲交会全局优化

李九天, 罗亚中, 唐国金

(国防科学技术大学 航天与材料工程学院, 湖南 长沙 410073)

不同于现有的多脉冲最优交会研究多集中于交会时间固定的最省燃料优化,研究了路径约束和脉冲受限的多脉冲最短时间交会问题。综合考虑了交会测量视场角、脉冲总量和脉冲作用时刻等约束,基于Lambert交会算法,建立了多脉冲交会最短时间优化的非线性规划模型。为了高效获得全局最优解,采用了模拟退火算法用于非线性优化问题的求解。最后,通过解决一个寻的三脉冲交会问题验证了模型和算法的有效性。该研究方法可寻找满足特定约束条件的最优交会轨道。

多脉冲交会; 最短时间; 模拟退火算法; 视场约束

引言

多脉冲最优交会是交会问题研究中的一个重要方面,国内外学者在此方面取得了丰硕的研究成果[1-2]。目前的研究多集中于交会时间固定的燃料消耗最省,对于空间救援活动等实际交会问题,满足一定燃料消耗约束的最短时间交会研究则具有一定意义。虽然文献[3]等基于C-W方程研究了脉冲总量和最大脉冲受限的时间最短线性交会问题,但是目前最短时间多脉冲交会问题的研究仍较少。

本文考虑了更为实际的测量视场约束,基于非线性二体方程研究了最短时间多脉冲交会问题。

1 多脉冲交会问题

航天器交会起动的初始条件是t0,r0,v0,终端条件是tf,rf,vf。假定航天器轨道机动过程中满足中心反平方引力场假设,则动力学方程为:

(1)

脉冲施加时,施加前的状态用“-”表示,施加后的状态用“+”表示,则有:

(2)

为便于表示,不加区分地令

(3)

并令r(t+Δt)=f(r(t),v(t),t,t+Δt)和v(t+Δt)=g(r(t),v(t),t,t+Δt)为式(1)的解。则对于一个中间脉冲(i≠1,i≠n,n>2),满足如下条件:

(4)

第一脉冲作用前状态满足如下条件:

(5)

式中,t1为第一个脉冲作用时刻。

终端约束如下:

(6)

式中,t0和tf为给定多脉冲交会的起始和结束时刻。

(7)

通常选择总的速度增量为优化指标:

(8)

2 基于Lambert算法的可行解迭代规划模型

式(7)和式(8)表示了非线性最优交会优化问题,其规划模型可分为可行解迭代规划模型和非可行解迭代规划模型[2]。构造非线性交会可行解迭代规划模型的一个重要问题就是选择合适的独立变量,同时通过引入Lambert算法用于自动满足终端条件,Hughes等[4]对此进行了较为详细的讨论。本文选用了其中一个优化模型,简述如下。

优化变量选为脉冲时刻和脉冲矢量:

(9)

(10)

3 最短时间多脉冲交会规划模型

3.1 优化变量

由于是最短时间交会,tf为设计变量。式(9)所表示的脉冲点火时刻ti(i=1,2,…,n)和脉冲矢量Δvj(j=1,2,…,n-2)也为优化变量。为有效提高优化性能,对脉冲变轨时刻进行归一化处理。令αi=(ti-t0)/(tf-t0),并限定αi≤1。因此,本文选择的优化变量x包括:

x=[tf,α1,…,αn,Δv1,…,Δvn-2]T

(11)

3.2 目标函数和约束条件

本文研究的最短时间交会,目标函数不同于式(8),而是交会的总时间:

J=min (tf-t0)

(12)

约束主要考虑三个方面:变轨时刻、脉冲总量约束和测量视场约束等。变轨点时刻满足的约束条件为:

t0≤t1

(13)

更进一步考虑实际要求,如考虑脉冲机动的调姿准备需要,要求任意两个脉冲作用时刻的间距大于一定的值。该约束表述如下:

ti+1-ti≥Δt(i=1,2,…,n-1)

(14)

脉冲总量约束如下:

(15)

式中,Δvtotal为最大允许脉冲总量。

在现有的自主交会导航敏感器中,大多均受到测量视场的限制,并且具有随相对距离减少视场范围不断减少的特点。因此,通常采用圆锥体模型近似表达受限条件,其中锥顶为目标航天器质心,轴线为接近轴方向,即目标航天器运动速度方向,锥顶角θ表示视场受限角。视场角(FOV)定义如下[2]:

θ(t)=arctan|y(t)/x(t)|

(16)

则视场角约束表述如下:

(17)

一个典型的测量视场角受限示意图如图1所示。

图1 测量视场受限与相对位置轨迹之间的关系

采用一个简化的方法计算θm。在[t0,tf]等距离选择m个点(t1,t2,…,tm),计算θ(ti),令θm=max (θ(t1),…,θ(tm))。

3.3 优化算法

最短时间多脉冲交会问题本质上是一个终端时刻可变的最优控制问题,该类问题属于最优控制问题中较难解决的一类。

本文综合考虑各类型约束条件,建立多脉冲最短时间交会的非线性规划模型。根据数值试验,经典的非线性规划算法如序列二次规划算法(Sequential Quadratic Programming, SQP)和单纯形法很难获得该问题的最优解。本文采用全局收敛性较好的模拟退火算法[2]和遗传算法进行求解,取得了较好的应用效果,其中约束条件处理采用罚函数法。遗传算法基本配置如下:实数编码、算术交叉算子、非均匀变异算子、基于最优保留策略的联赛竞争算子为选择算子。

4 计算结果及分析

假设目标航天器在400 km高度的圆轨道上运行,采用建立在目标航天器质心上的轨道坐标系描述交会问题,其中x沿速度反向,y沿地心向上,z由右手法则确定,如图1所示。算例为寻的段交会问题。在寻的段,两个航天器由相距几十千米经过若干次轨道机动到相距几千米处,在此阶段的导航由星载测量设备完成。通常受视场角限制,综合考虑燃料最优和误差修正因素,该阶段的轨道机动次数(n)通常为3～4次。追踪航天器在目标航天器轨道坐标系中的初始相对状态为(65 000 m,-22 000 m,0 m,-4 m/s,0 m/s,0 m/s),交会终端相对状态为(3000 m,0 m,0 m,0 m/s,0 m/s,0 m/s)。交会过程中,n=3,Δvtotal=15 m/s,Δt=100 s,θFOV/2=40°。

为了测试优化算法的有效性,测试对比了模拟退火算法、遗传算法、单纯形算法和序列二次规划算法的性能,随机产生初始点,每类算法都随机运行30次。表1给出了算法的统计结果。

表1 不同优化算法的优化统计结果

注:交会时间是针对所有可行解的统计结果;遗传算法和模拟退火算法均以目标函数计算次数为20 000作为终止条件;收敛概率是指获得可行解的概率。

由表1可知,经典的优化算法(包括单纯形算法和序列二次规划算法)收敛可靠性非常低;遗传算法表现出了100%的收敛可靠性,稍高于模拟退火算法的90%,但解的最优性显著差于模拟退火算法。根据数值实验和相关分析,因为引入了视场角约束,使得该问题具有强约束、非光滑特性,所以序列二次规划算法这一对光滑约束问题非常有效的算法在求解该问题时难以收敛。应用遗传算法和模拟退火算法时,采取了罚函数法处理约束。一般而言,模拟退火算法收敛性受罚函数影响更大一些,对罚函数进行精细调整可以提高模拟退火算法的优化效果。对于实际求解,推荐采用模拟退火算法。

在上述测试中,获得最优解对应的交会时间为2 973.5 s,对应的总的速度增量为14.97 m/s,实际最大视场角为39.994°,最优解是在接近约束边界处获得的。

图2给出了该最优解对应的相对速度变化曲线,图3给出了在目标航天器轨道平面内的追踪航天器接近示意图。

根据数值实验和相关分析,得到了如下一些基本结论:

(1)视场角和脉冲总量约束的最短时间最优交会问题求解非常困难,经典的优化算法收敛性很差,引入模拟退火算法和遗传算法则可以取得较好的效果;

(2)当视场角和脉冲总量约束均为有效约束时,最优解通常在边界处获得;

(3)脉冲数目的增大可保证视场角约束得到满足,对于本文测试的寻的交会问题,其燃料最优解多数是二脉冲解,但是二脉冲由于对自身飞行轨迹的调整有限,难以满足视场角约束。

图2 相对速度随时间变化曲线

图3 轨道面内追踪接近目标位置变化示意图

5 结束语

本文研究了含测量视场约束的最短时间多脉冲交会问题,建立起了考虑测量视场、脉冲总量和脉冲机动时刻约束的非线性规划模型,采用模拟退火算法作为优化算法,通过算例验证了模型和算法的有效性。研究成果可寻找满足特定约束条件的最优交会轨道,揭示交会轨道整体性能指标如交会时间、燃料消耗和测量视场角等之间的关系。

[1] Jezewski D J,Brazzel J P,Prust E E,et al.Survey of rendezvous trajectory planning [J].Advances in the Astronautical Sciences,1992,76:1373-1396.

[2] 唐国金,罗亚中,张进.空间交会对接任务规划[M].北京:科学出版社,2008.

[3] Luo Ya-zhong,Tang Guo-jin,Li Hai-yang.Optimization of multi-impulse minimum-time rendezvous using a hybrid genetic algorithm [J].Aerospace Science and Technology,2006,10(6):534-540.

[4] Hughes S P,Mailhe L M,Guzman J J.A comparison of trajectory optimization methods for the impulsive minimum fuel rendezvous problem [J].Advances in the Astronautical Sciences,2003,113:85-104.

Globaloptimizationoftime-optimalmultiple-impulserendezvouswithpathconstraints

LI Jiu-tian, LUO Ya-zhong, TANG Guo-jin

(College of Aerospace and Material Engineering, NUDT, Changsha 410073, China)

Different from the current studies on optimal multiple-impulse rendezvous that always concentrate on fuel-optimal time-fixed rendezvous, this paper studies time-optimal multiple-impulse rendezvous with path constraints and impulse constraints. Considering the constraints such as the measure sight-angle, the total impulse magnitude and the time of imposing impulse, a nonlinear programming model for time-optimal multiple-impulse time-optimal rendezvous was established using the Lambert algorithm. In order to obtain the global solution efficiently, a simulated annealing algorithm was employed to resolve the resulting nonlinear optimization problem. The effectiveness of the proposed optimization model and algorithm was testified by solving a three-impulse homing rendezvous problem. The proposed method can be employed to seek the optimal rendezvous trajectory satisfying special constraints.

multiple-impulse rendezvous; time-optimal; simulated annealing algorithm; sight-angle constraint

2011-09-09;

2011-12-05

国家自然科学基金资助(10902121)

李九天(1975-),男,河南正阳人,博士研究生,研究方向为航天飞行任务规划。

V412.4

A

1002-0853(2012)02-0185-04

(编辑：崔立峰)