高等数学的创新教学

陈杰

摘要：通过作者十多年从事高等数学教育教学的经验体会从高等数学教学内容、教学方法方面探讨如何在高等数学教学中创新，培养学生的创新思维和创新能力和应用数学解决实际问题的能力。

关键词：创新教学；创新；数学活动

创新是现时代的主旋律，培养和发展学生的创新能力，是现代教育的最主要目标。然而，长久以来，高等数学一直被认为是一门高度抽象的学科。对大多数数学教学工作者来说，都是从公理化体系出发，沿着“定义——定理——证明——推论”这样一条逻辑演绎的思路进行教学。公理化体系的建立，充分展示了数学的高度抽象性和严谨的逻辑性。但是，在完美的公理化体系的包装下，数学家们发现问题，处理问题，解决问题的思维轨迹往往被掩盖了。事实上，高等数学由于其高度的抽象性、严谨的逻辑性、结论的确定性和应用的泛在性等特征，决定了数学教学的难度，往往使学生视如畏途。如果一味按照这样的思路去进行高等数学教学，难免会让学生感觉数学太抽象，太难，也难免感觉单调和枯燥，因而失去学习的兴趣，教学效果不高。因此，如何在高等数学教学中使学生聚精会神和一心一意听课和思考，提高教学效果，如何在数学教学中培养学生的创新思维和创新能力，就成为当前数学教育工作者积极探讨的研究课题。本文仅就数学教学中培养学生创新思维和创新能力，从教学内容、教学方法谈谈自己的看法和体会，以供同仁商榷。

一、教学内容的选取、改进和创新

高等数学课程在高等学校的人才培养中，不仅是一种工具、一种知识、一种语言，而且也是一种素质、一种思维模式、一种文化。在数学课程的教学中不仅要向学生传授数学知识，而且要在传授知识的同时，传授数学的科学思想、科学方法和科学精神，培养学生的学习能力、分析和解决问题的能力以及创新精神与创新能力。这是高等数学课程教学内容改革和建设的出发点和落脚点。

新的高等数学教学理念是要促进学生的全面和谐发展，使不同的学生在数学方面达到不同的发展，而不是一定都要成为数学家。所以，应认识到数学应为学生的数学活动提供基本线索，基本内容和主要的数学活动机会。因此，学生的学习内容應该是现实的 ，有意义的，富有挑战性的，应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这就需要教学内容的设计应尽量来源于实际生活，源于自然，社会和科学中具有一定的数学价值的现象和问题。根据数学学科的特点和当代科学技术发展的趋势，提出要吐故纳新。积极探索用现代数学的思想、观点和方法改造传统教学内容的途径。在讲解经典内容的同时，要注意渗透现代的思想、观念和方法，采用现代数学的术语和符号，为现代数学适当地提供内容展示的“窗口”和延伸发展的“接口”。

例如，积分是微积分中一个基本概念。大多数教材在内容上反映出来仅从几个实例出发，归纳出需要研究和计算的一类和式极限，然后将这类和式极限定义为积分。但是我觉得要是通过对一两个实例的深入浅出的分析，说明积分概念是为了适应科学技术的发展需要，从研究均匀分布量的求和问题（例如，物质均匀分布的物体质量）到解决某些非均匀分布量（例如，物质非均匀分布的物体质量）求和问题而产生的，这就深刻得多而且容易接受。揭示导数是求均匀变化量的变化率的除法在求非均匀变化的变化率中的推广和发展。积分的思想方法就是解决均匀分布量求和问题的乘法在解决非均匀分布量求和问题中的推广和发展，它在本质上就是局部线性化的思想。因此，初等数学中的除法和乘法这对矛盾在高等数学中就表现为导数和积分。我们应该把这种思想内容统一到各种类型的数值函数的积分之中，进而阐明积分应用中的微元法的思想就是局部线性化的思想。提高学生用各类积分解决相应实际问题的能力。这种内容的讲授就会使学生感到数学并非是一堆僵化的、神秘莫测抽象难懂的定义、定理和公式，而是解决实际问题所需要的、威力无穷的工具。

在教学内容的选择上，内容选取的原则是广而浅，少而精、删繁就简。同时注意以下几个突出：突出理论问题的深化与具体化。如处理极限概念时，加强收敛速度的直观理解；突出近似计算的原理；突出信息技术，多媒体技术及数学软件对数学问题的处理；突出数学的应用与建模能力的培养。采用实际应用问题作为研究对象。如政府税率的制定，银行利率的分析，公司运营的最优策略，牛顿发现万有引力的过程等着重培养学生的综合能力，分析能力和应用能力。教师应有意识地收集与教学内容相关的实例，尽可能多地将高等数学与工程技术、经济学、生生态学、社会学、军事学等领域联系起来，展现高等数学的巨大魅力。教师在高等数学教学过程中，应当对课程中蕴含的一些数学方法加以阐述，如类比、演绎、递推、构造、换元、化归、建模等方法，对深化学生知识，提高学生的分析问题、解决问题的能力，增强学生的整体素质有着重要作用。就拿建模来说，一切数学概念和知识都是从现实世界中的各种模型中抽象出来的，利用建模思想进行教学是理论与应用相结合的重要手段。传统的高等数学教学也强调从实际问题出发，建立模型，再引入概念和方法。我认为，创新教育中贯彻建模思想，应强调量的差异，应举更多的有实际意义的例子。

二、教学方法的创新

新教学理念应教会学生如何学习，如何思考，如何发现，变“信息源泉”和“知识传播者”为一个合作者和一个咨询者，让学生以生活中“找”数学，使数学生活化，从实践中“做”数学，使数学活动化；在情景中“问”数学，使数学问题化。学生创新精神的培养，创新的课堂教学是主渠道。必须摈弃传统的教学模式，采用科学探究性的教学模式和创造性培养的教学模式，如尝试发现型，自学——探究型，引导——探索型等教学模式，在这样的教学模式中进行创造性地教和学；必须改革传统的注入式教学方法，采用以启发式为指导思想的现代数学教学方法，如尝试指导法、引导发现法、启研法、自学辅导法等。

要组织好一堂课，教师需具备两个最基本的条件，一是要有较好的表达能力，二是吃透教学内容。但是仅仅具备上述两点只是最低层面的要求。一个教师如果仅仅能够把知识准确无误地传授给学生，而不能告诉学生为什么要做某些事，学生就不能真正理解所学的内容从而将其自身的能力，素质教育就无从谈起。在教学过程中，我们要教给学生如何发现问题，分析问题和解决问题。因为一切科学的研究，毫无例外地都要经历提出问题、分析问题、解决问题的过程。

科学研究是由问题驱动的。费马和巴斯卡的关于“赌金问题”的讨论引发了“概率论”。牛顿对万有引力的思考导致微积分的创立，歌得巴赫猜想驱动许多人去思考。因此，数学的创新教学应该用一系列的问题组织起来，在数学问题的驱动下呈现数学。我这里提到的数学问题是指本原的、触及数学本质、对于在全局上增加学生的理解、能激发学生火热的思考，发展学生的创新思维能力的问题。

例如在讲导数时，可以用这样的问题来驱动：“在函数y = f(x)中，描述的是自变量x与因变量y的对应关系。而微积分是处理增量分析。为什么要研究增量？设有两个变量x和y，x—某商品的价格，y—该商品的销量。在一定的条件下，y与x的关系可用价格——销售函数y = f(x)来描写。作为决策者，销售经理虽然关心函数f，但是他首先要考虑的问题是，如果现在的价格是x0，在x0的基础上调整价格?驻x时，市场的反应（销量的增减量?驻y）如何？销售经理应研究的是?驻x与?驻y的关系?驻y = f (x0+?驻x)- f(x0)。如何分析增量?驻x，?驻y，这是微积分的灵魂。”刚开始接触微积分的学生。不知道为什么要研究增量，对增量?驻x的感受是“天上突然掉下个林妹妹”或者是“雾里看花开”。

在每一種数学理论和每一个重大定理的背后，都有一堆生动的故事，躁动着引人入胜的问题。正是数学问题，成为驱使数学家以毕生的精力，最美好的青春年华去追求答案的动因。

注重学生数学兴趣的激发，培养学生的创新动力。在数学教学中渗透文化数学，可以从以下几方面着手：

首先，史料书籍。让学生了解数学发展过程中所蕴藏着的每一项重大发现的偶然性和必然性。以及其中所蕴藏着的不懈的追求与探索精神。众多数学家们严谨，踏实，不畏艰难追求真理，敢于创新的科学精神，会给学生极大的启示和教育，使其受益终身。其次，让学生了解数学发展的过去，现在和未来，了解数学发展的前沿和动态，有助于学生产生使命感。这些不仅丰富了学生的头脑，更重要的是启迪了学生的智慧，开阔了他们的视野。

其次，数学名人和数学故事。榜样的力量是无穷的。在学生学习过程中，让学生了解一些数学名人，一方面对学生进一步学习数学树立了榜样；另一方面也为学生学习数学指明了方向。让他们感受到数学不仅仅是名人的游戏，是名人的执着信念，热爱科学，坚强不屈，忘我投入，才使他们取得了令人瞩目的成就。数学故事引人入胜。贴近生活与个体知识背景，经验背景，能激起学生的某种愿望，情感，兴趣。使学生轻松撷取数学中的小珍宝。小故事往往蕴藏大智慧，能在愉快的阅读中得到人生的启迪，探讨思维的窍门。

当学生了解定理，原理诞生的时代背景，艰苦历程，以及科学家为此付出的心血、汗水之后，再去学习和品味定理的内涵，感受会大不一样，展现在他们眼前的不算是孤零零的符号和枯燥的推演，而是有血有肉的科学宝库中的珍品，从中还能悟出一些闪光的东西。激励他们更加自觉地掌握前人经过奋斗而得来的知识。

数学兴趣是学生的一种力图接近、探究了解数学知识和数学活动的心理倾向，它是学生学习数学的自觉性和积极性的核心因素。它不仅对学生的数学学习有极大的推动作用，而且还使学生在集中精力获得知识的同时，努力地去进行创造性的活动，成为创新的动力因素。学习的最好刺激，乃是对材料的兴趣。因此，在数学教学中，都是要从教学素材中选取通俗生动的事例，采用适合学生实际情况的方式激发学生的兴趣，如使用“外币兑换中的损失”来引起学生对反函数概念的学习兴趣，“多少颗通信卫星的信号可以覆盖整个地球”来引起学生对学习“线面积分的”高度重视等。在兴趣的形成过程中，激发学生的求知欲，引起学生的探究活动，进而成为创新的动力。