弹性地基梁问题的无网格伽辽金分析

李晓双，赵慧明，杨 敏

(中国矿业大学力学和建筑工程学院，江苏徐州221008)

0 前言

工程中，通常在结构底部设置基础，若假设地基为弹性的，则此类结构可简化为弹性地基梁问题。对于弹性地基梁问题，目前广泛使用的数值方法为有限单元法，且已取得了不少成果［1］。但有限元法是基于单元和网格的方法，会产生剪切自锁和所求函数的导数精度较低等问题。为了获得较好的结果，需花费大量时间在网格划分等前处理工作上，对于大变形问题，在求解中会导致网格畸变，使计算无法进行，此时需要重新划分网格，工作量很大［2］。无网格方法为近年来出现的一种新的计算方法，它不依赖于单元和网格，可以有效克服有限单元法存在的问题，在金属塑性成形、动态裂纹扩展、流固耦合等涉及到大变形、网格畸变等问题时具有很大的优势，并且与有限单元法相比，无网格法往往具有较高的精度，因此在很多方面得到了应用［3-5］。本文采用无网格伽辽金法(EFG)分析了Winkler弹性地基梁问题，并给出了具体算例。

1 弹性地基梁的基本方程

由Winkler地基模型可得到梁挠曲线方程

由微分方程理论，对于方程(1)，其齐次形式通解为［6］

采用初参数法求解，得到任意载荷下弹性地基梁的计算公式［7］

2 无网格伽辽金法

无网格伽辽金法(EFG)采用移动最小二乘方法构造形函数。

定义在x处的MLS近似表达式为

式中，pj(x)为多项式基函数;a(x)为待定系数，是坐标的函数。构造泛函，求解待定系数a(x)，得到

应用最小势能原理，得到弹性地基梁的能量泛函为

将式(10)代入泛函，并对泛函取驻值得到

Fc为集中力与集中力矩部分。

MLS近似不具备Kronecker δ函数性质，不能直接施加本质边界条件，通常采用罚函数法或者Lagrange乘子法施加本质边界条件。Lagrange乘子法可以精确施加本质边界条件，但会增加未知数数目，大大降低求解离散方程的效率［8-10］。因此，本文采用罚函数法施加本质边界条件。

在式(11)中添加位移约束项

式中α为惩罚因子，实际应用时常取足够大的正数。

对式(17)进行变分运算，最终得到的离散系统方程为

增加的两项为Kα和Fα。

Kα为总体惩罚刚度矩阵，其形式为

Fα为由本质边界条件引起的等效节点力，其形式为

对式(18)进行求解，得到节点位移参数，利用式(8)可得到节点位移。

3 数值算例

图1为弹性地基梁，长度L=10 m，宽度b=1 m，深度 h=0.3 m，E=20 N/m2，地基的弹性压缩系数k=1.8×107N/m3，集中力P=400 kN，q=0.4 kN/m2。为便于编写程序，在算例中对梁采用规则网格节点布置，设置11个节点。

局部影响域的大小取值对结果影响较大，目前还没有相关的选取准则。本文采用文献［11］给出的值，取节点间距的3.0倍左右。局部积分域的大小取节点间距的2.0倍左右。由于模型具有对称性，在计算时可以只对前6个节点计算，结果见表1。

图1 数值算例模型

表1 挠度计算结果 ω/mm

从表1中可以看出:使用无网格EFG方法得到的结果与使用初参数解法得到的解吻合的相当好，最大误差不超过2%。当节点数增加时，误差会进一步减小。

4 结论

将无网格EFG应用于弹性地基梁问题，利用最小势能原理推导了离散系统方程，详述了实施方法和计算步骤。其求解过程同有限元法相似，但无网格EFG摆脱了对单元和网格的依赖，收敛较快。算例表明:用无网格EFG分析弹性地基梁问题，简便可行，精度较高。

［1］张晓玲.弹性地基梁的有限元分析［J］.山西建筑，2008，34(27):137-139.

［2］于亚婷，杜平安，王振伟.有限元法的应用现状研究［J］.机械设计，2005，22(3):6-9.

［3］曾媛，戴木香.无网格方法的研究现状与发展［J］.山西建筑，2008，34(27):117-118.

［4］楼芬，邓建.无网格法及其在岩石力学与工程中的应用［J］.地下空间与工程学报，2007，3(6):1014-1017.

［5］周维垣，寇晓东.无单元法及其工程应用［J］.力学学报，1998，30(2):193-202.

［6］黄义，何芳社.弹性地基上的梁、板、壳［M］.北京:科学出版社，2005.

［7］阎盛海.地下建筑结构中弹性地基直梁的初参数法［J］.大连大学学报，2001，22(2):9-18.

［8］赵光明，宋顺成.无网格本质边界条件实现方法的研究进展［J］.科技通报，2005，21(6):644-650.

［9］Liu G R，Gu Y T.无网格法理论及程序设计［M］.济南:山东大学出版社，2007.

［10］Dolbow J，Belytschko T.An Introduction to Programming the Meshless Element Free Galerkin Method［J］.Arch Comput Method，1998，5(3):207-241.

［11］夏平，龙述尧，胡玮军.弹性地基中厚板弯曲问题的无网格LRPIM分析［J］.岩土力学，2010，31(2):656-660.