基于小波变换的二通道数据采集滤波器组设计

王 飞，邓志清

（1.船舶重工集团公司723所，扬州225001；2.镇江舰艇学院，镇江212001）

0 引 言

在处理超宽带信号时，信号带宽过大，为降低对A／D采样的要求，可以考虑将信号分解为二通道或者多通道情况进行分别采样，从而实现降速采样的目的。小波变换的特点就是将信号在不同尺度上进行分解，通过小波的带通滤波特性实现对信号频带的分割。采用小波变换理论对信号进行逐层分解和重构，逐步降低信号的频率分析区间，为构造多通道采样系统提供了一种思路。

1 二通道采样系统

为了分析方便，采用倒推的方法，假设二通道采样系统（如图1所示）已经建立起来，然后讨论滤波器设计所要达到的条件［1］。

图1 二通道采样系统信号流程示意图

图1中f（n）为采样序列，f′（n）为处理后前者的估计，H（z）和G（z）分别为分解和重构滤波器。H0（z）为低通滤波器，H1（z）为高通滤波器，后者依此类推。由图中的信号流程，可以得到以下关系：

将式（1）和（2）代入式（3）中，得：

式（4）右边第1项表示信号频谱，第2项表示由于对信号的抽取和插零所带来的频域混迭。若将第2项清零，则混迭可以消除，即有：

式（6）为满足式（5）条件的1组关系：

在分解滤波器中，低通滤波器和高通滤波器相位上可有一定的关系，即：

这样是为了使分解的低通和高通滤波器有正交性，只要取适当的滤波器函数就可以做到这一点。式（7）对应于时域的关系为：

将式（6）和（7）代入式（4），可以得到系统输入输出之间的关系式：

式（9）给出了1个消除幅度失真的条件，只要右边前一项为1，即：

图2 二通道采样系统示意图

图2中，只要f′0（n）、f1（n）′和f0（n）、f1（n）是相同的序列，就可以保证f′（n）是f（n）的估计。这需要两路D／A和A／D时钟同步，且都以频率f进行采样，假定采样是理想的，即使f′0（n）与f0（n）出现相位不一样的情况，并不影响数据的重构，因为后期处理的时候可以将f0′（n）做1次相位的调整即可。抽取的过程类似于降频，每隔1个输入样点取1个 样本，即得到序列f′0（n）。以f／2为采样速率取代抽取的过程，即得到图3所示关系。

图3 采样率为f／2的二通道采样系统示意图

在D／A带宽足够大的情况下，上图的2路D／A可以放在滤波器处理之前，即：

图4 采样一路D／A的二通道采样系统示意图

上图中AH0（z）是对应 H0（z）的模拟滤波器，AH1（z）同理。进一步，若满足：

则二通道的采样设计原理如图5所示。

图5 二通道采样结构图

图5中D0（n）和D1（n）对应f′0（n）和f′1（n），s（n）对应f′（n），至此，基于二通道的数据采样框图设计完成，并且通过理论分析，在采样率为f／2的情况下，依然可以得到原始信号的重构信息。在整个设计过程中，并没有要求分解和重构滤波器具有理想的过渡带，这就保证了模拟滤波器CH0（w）、CH1（w）可以更好地逼近数字滤波器 H0（z）和H1（z）。

这样，通过设计满足式（5）、（7）和（10）条件的数字低通滤波器H（ejω），经过二通道采样系统可以得到输出s（n），在存在相位失真的前提下，完成对信号f（t）的采集和重构，但是满足条件的低通滤波器并不好设计。

2 基于Daubechies小波的二通道采样系统

根据小波理论，对任意给定的消失矩阶数p，Daubechies小波［2］有最小的支集，而紧支集小波可由有限脉冲响应共轭镜像滤波器h计算得出［3］。假设有实的因果滤波器h［n］，那么＾h（h的傅里叶变换）可以表示为这样一个三角级数：

小波的k阶消失矩定义为：

为保证小波有p阶消失矩，需要＾h在ω＝π处有p重零点，这样式（12）可以构建为：

那么有限脉冲响应滤波器h［n］就可以得到，并且h的非零个数N＝m＋p＋1。根据Daubechies给出的证明，实共轭镜像滤波器h，如果使得＾h在ω＝π处具有p重零点，则它至少有2p个非零系数。

Daubechies滤波器h［n］在数学上有更简洁的表达方式，即：

其中右边后一项是一多项式，表示｜R（e－iω）｜2。以db4小波为例，给出它的滤波器。

为了更好地理解db4小波的滤波原理，图6就幅频曲线做出说明。

图6 db4小波滤波器及分解和重构滤波器

由图7可以很明显地看出曲线在一定的频率区间外迅速出现衰减，所以小波具有带通的滤波效果。

图7 db4小波低通滤波器和高通滤波器幅频特性曲线

比较式（10）、（15）和（16）可以发现它们的系数是相同的，式（10）和式（15）形式上也可以基本上等同。这已经给出了一部分构建二通道滤波器的答案。为了更好地理解小波是如何构建正交镜像滤波器的原理和多分辨率分析理论，下文将详细分析小波和滤波器组的关系。

数学上常用“空间”的概念来论述多分辨率分析的完备性，将空间Vj和 Wj的规范正交基 ｛φj，n｝n∈z和 ｛ψj，n｝n∈z在2个空间的信号投影表示为：

小波重构为：

图8 小波分解和小波重构

双通道滤波器组将信号a0和低通滤波器h、高通滤波器g做卷积，并对输出做因子为2的子采样；然后用对偶低通˜h和高通˜g滤波器对零扩充信号滤波，可得到重构信号，如图9所示。其关系为：

图9 双通道低通和高通滤波器的分解和重构

图9和第1节中推导的二通道信号流程图已经非常相似了，这里只需要将小波的双通道分解和重构与上节中涉及到的低通和高通滤波器对应起来就可以在理论上完全等同起来。也就是说满足小波双通道的滤波器组完全可以满足二通道采样系统的要求。实际上对于小波双通道滤波器组能够精确重构信号的充要条件已经由Vetterli［4］给出：

通过滤波器组矩阵满足仿酉性质［5］，Vaidyanathan将上述充要条件推广到M（M为自然数）个通道的多速率滤波器组。Smith和Barnwell以及Mintzer根据前人的结论给出了共轭镜像滤波器的定义条件：

这个条件也是生成正交小波的条件之一。经过多位学者的努力，Daubechies系小波已经具备上述的充要条件。通过以上分析，可以归纳为：首先，二通道采样系统对信号降频采样是可以理论构建的，通过理论推导的滤波器组相互之间需要满足一定的条件；其次，小波分解和重构的理论基础是完备的，其关于正交镜像滤波器组的构建方式，非常契合于前文推导的二通道采样滤波器组应该满足的关系；第三，通过调用已经存在的小波基函数，满足相应的条件下，理论上可以达到对信号降频采样的目的，采样频率要求为原来的一半，这非常有利于超宽带信号的采集，有利于降低对ADC器件的硬件要求。

3 仿真验证

为验证基于小波的正交镜像滤波器组的有效性，用db4小波对一个超宽带冲激信号进行二通道采样处理，结果如图10所示，结果展示了信号经小波滤波器一层分解后的两路信号形式，并进行重构，重构误差的数量级很小，不影响信号的后续处理。

图10 db4小波分解重构图

图10说明：使用二通道采样原理构建小波，并使用相关小波对信号做一次分割即二通道采样处理，能较精确地均分频带，重构效果良好，误差较小。

4 结束语

本文研究了二通道数据采集系统的原理，分析了Daubechies小波与二通道数据采集系统中滤波器组的关系，采用db4小波重构了低通、高通滤波器，最后用MATLAB仿真验证了采用db4小波对一个超宽带冲激信号进行二通道重构处理的结果。仿真结果表明重构效果良好，误差较小。

［1］黄柯宇.基于小波的UWB雷达信号采集及频带分割滤波器研究［D］.成都：电子科技大学，2003.

［2］高成.Matlab小波分析与应用［M］.北京：国防工业出版社，2007.

［3］Stephane Mallat.信号处理的小波导引［M］.杨力华，戴道清，黄文良，湛秋辉译.北京：机械工业出版社，2002.

［4］Vetterli M.Fliter banks allowing perfect reconstruction［J］.Signal Processing，1986，10（3）：219－244.

［5］Akansu A N，Haddad R A，Caglar H.The binomial QMF－wavelet transform for multire－solution signal decomposition［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1992，6（5）：250－261.