亚纯函数系数的高阶微分方程的解与其小函数的增长性

金瑾

（贵州省毕节学院数学系，贵州毕节 551700）

亚纯函数系数的高阶微分方程的解与其小函数的增长性

金瑾

（贵州省毕节学院数学系，贵州毕节 551700）

研究了高阶线性齐次微分方程f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f＇+A0（z）eazf=0解的增长性，其中，Aj（z）≢0是亚纯函数，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），a为非零复常数，得到了方程解的一阶导数、二阶导数、微分多项式与小函数之间的关系。

线性微分方程；小函数；亚纯函数；收敛指数

1 引言与主要结果

本文采用Nevanlinna值分布理论的标准记号[1-8]，用σ（f），λ（f）φ和λ¯（f）表示亚纯函数f（z）的增长级、零点收敛指数和不同零点收敛指数，用λ（fφ）和λ（f-φ）表示亚纯函数f（z）取小函数的零点收敛指数和取小函数的不同零点收敛指数。研究了高阶线性复微分方程的解f（z）与其小函数φ（z）的关系。得到了下述结论

定理 设Aj（z）≢0是亚纯函数，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1）为非零复常数，如果φ（z）是不恒为零的有限级亚纯函数且σ（Aj）＜1，则微分方程（1）的任意超越亚纯解f（z）都满足

2 证明定理所需的引理

引理1 假设（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），为亚纯函数且级小于1，Aj为互不相同的复常数，则

的所有超越亚纯解的级都为无穷。

证明 反证。由方程（2）变形得

若存在超越亚纯函数解f，其级σ（f）＜∞，由对数导数引理知：当r充分大时，

又因

σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），

故

σ（Aj/A0）＜1（j=0，1，2，…，k-1），

所以，∃ε＞0，使得当r充分大时，有

所以σ（f）=∞。

引理2 设（f z）是超越亚纯函数且

σ（f）=σ＜+∞，H={（k1，j1）（k2，j2），… ，（kq，jq）}是不同的整数对的有限集合，满足ki＞ji≤0（i=1，2，…，q）。假设ε＞0是个给定常数，则存在一集合E⊂［0，2π），其线性测度为零，使得如果φ∈［0，2π）-E，则存在常数R0=R（0φ）＞1，对满足arg z=φ及z≤R0的所有（k，j）∈H都有

而（3）的右边

引理3 设f1（z），f2（z），…，fn（z）（n≤2）为亚纯函数，g1（z），g2（z），…，gn（z）为整函数，满足下列条

证明 因为条件（ⅰ）中的恒等式可以改写为

故由引理3即可得出

fj（z）≡0（j=1，2，…，n+1）。

引理5 设A0，A1，…，Ak-1，F≢0都是有限级亚纯函数，如果f（z）是方程的

f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f′+A0（z）f=F（z）

的一个无穷级亚纯函数解，那么f（z）满足

λ（f）=λ¯（f）=σ（f）=∞[3]。

3 定理的证明

证明 设f（z）是方程（1）的任意超越亚纯解，则由已知和引理1可知σ（f）=∞，故σ（f-φ）=∞。下面我们证明λ¯（f′-φ）=∞和λ¯（f″-φ）=∞。

（Ⅰ）首先我们证明λ¯（f′-φ）=∞。设g（z）=f′（z）-φ（z），则

σ（g）=σ（f′-φ）=σ（f′）=σ（f）=∞，λ¯（g）=λ¯（f′-φ）。

对方程（3）两边求导并整理得

由方程（1）得

将（5）代入（4）得

又由g（z）=f＇（z）-φ（z）可得

将这k+1个等式代入（6）式并整理得

假设

则

其中，

又

故

因为Aj（z）≢0是整函数，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），a为非零复常数，φ（z）是不恒为零的亚纯函数且σ（φ）＜1，所以由引理2知

的级都小于1，由引理4和（8）式可知A0≡0，这与定理的条件矛盾，因而h（z）≢0。

对于方程（7）来说，由于h（z）≢0及σ（g）=∞和引理5可知

λ¯（g）=λ¯（f′-φ）=σ（g）=σ（f）=∞。

（Ⅱ）其次我们证明λ¯（f″-φ）=∞。对方程（4）两边求导并整理得

将（5）式代入（9）式并整理得

令

由引理4易知φ2（z）≢0，且φ1（z）和φ2（z）都是亚纯函数，σ（φ1）＜1，σ（φ2）＜1。再由（6）可得

将（11）式代入（10）式并整理得

其中

则B1和B2都是亚纯函数，且σ（B1）＜1，σ（B2）＜1。由φ1（z）和φ2（z）的表达式和（13）～（16）有

其中，

则由方程（17）可知

对方程（19），由上所述和引理4可知，A0=0。这与已知矛盾，故H≢0。

所以，对于方程（18）由H≢0及σ（h）=∞，由引理5可知

由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，在定理条件下有

[1]Gundersen G.Estirnates for the logarithmic derivative of ameromorphic function，Plus Similar Estimates[J].London Math Soc，1988，37：88-104.

[2]Gross F.On the distribution ofvaluesofmeromorphic functions[J].Tran AmerMath Soc，1968，131：199-214.

[3]Chen ZX.Zerosofmeromorphic solutionsofhigherorder lineardifferentialequations[J].Analysis，1999，14：425-438.

[4]JIN Jin.The fix point of solutions and the derivatives of Solutions of higher order entire function coefficients linear differential equations[J].Journal of Mathematical Research＆Exposition，2007，27（4），803-813.

[5]JIN Jin.The fixed point of two order derivatives of solutions of higher order linear differential equations[J].Mathematical Theory and Applications，2007，27（4）：107-113.

[6]JIN Jin.The Zero-filling DiscsofSolutionsofComplex Equation[J].Advances in Mathematics，2005，34（5）：609-613.

[7]JIN Jin.On the fix poin and hyper order of meromorphic solutions of aclass of higher order homogeneous linear differential equations[J].Journal of huazhong normal university，2011，45（1）：18-22.

[8]JIN Jin，Shi ning sheng.The relatween solutions of a claas of differential equation and the derivatives of solutions with the fixed pionts[J].Mathematics in practice and theory，2011，41（22）：185-190.

〔责任编辑 高海〕

The Growth of Solutions of Meromorphic Funtion Coefficients of Higher Order Differential Equations with Functions of Small Growth

JIN Jin
（Mathematics Department，Bijie University，Bijie Guizhou，551700）

In this paper，the growth of solutions of homogeneous higher order linear Differential equation is investigated，

f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f＇+A0（z）eazf=0，in the Aj（z）≢0 were meromorphic functions，σ（Aj）＜1（j=0，1，2…，k-1），a is non-zero constant.Obtains their 1st，2st derivatives，differential polynomial of differential equationswith function of small growth.

linear differential equations；small function；meromorphic function；exponentof convergence

O174.5

A

1674-0874（2012）03-0001-04

2011-12-10

贵州省科学技术基金资助项目[2010GZ43286]；贵州省科学技术基金项目[2012GZ10526]；贵州省毕节地区科研基金资助项目[2011-02]

金瑾（1962-），男，贵州大方人，教授，研究方向：复分析。