GMM不饱和小回线迟滞模型的修订

何汉林，孟爱华，祝甲明

(杭州电子科技大学机械工程学院，浙江杭州310018)

0 引言

由于超磁致伸缩材料具有各种优点，使得在精密驱动技术中应用非常广泛。但由于磁性材料的磁滞非线性，使得由超磁致伸缩材料制成的超磁致伸缩微位移执行器的输入和输出存在一定滞后，给超磁致伸缩微位移执行器的精确控制带来困难。因此，怎样去对超磁致伸缩材料迟滞特性进行建模成为各国学者研究的热点。其中，基于磁性材料内部机理的Jiles-Atherton模型(J-A模型)［1，2］，其物理意义明确，易于修正和扩展，在超磁致伸缩材料的性能分析中，应用非常广泛。在实际工程应用中，驱动磁场往往达不到饱和状态，这时超磁致伸缩材料的磁滞回线为不饱和小回线。此时采用经典J－A模型仿真出来的磁滞回线不仅不对称，还常常不闭合［3］。Jiles和Calkins通过对小回线的起点、转折点、终点的数值进行积分来修订小回线［4，5］，但是该方法计算过程极度繁琐，应用受到很大限制。Lederer和Carpenter对不饱和小回线采用平移和放大因子的形式进行了修订［6，7］，比Jiles等人的体积分数形式要简单许多，但仍需已知主回线和小回线顶点处的磁化强度。本文通过分析不饱和小回线在磁化过程中的变化规律，找出影响小回线变化的关键因素，对J－A模型相关参数进行修订，建立适用于对称和不对称条件下的不饱和小回线迟滞模型。

1 不饱和小回线模型修订

在J-A模型中，共有5个参数。其中，a为非磁滞磁化曲线Man的形状参数，磁滞小回线的起始点位置不同，非磁滞磁化曲线Man也不同，因此参数a也随之改变。K为钉扎系数，表示材料磁畴克服钉扎点所需的平均能量，驱动磁场强度越大，所需的能量越多，参数K就越大。由试验曲线可知，当外加磁场未达到饱和而形成不饱和小曲线时，小回线的斜率和面积会随着小回线在饱和磁化曲线中的位置和幅值的不同而改变，据此推测，要修订不饱和小回线，只要对小回线的斜率和面积进行修订即可。

为了分析磁化过程中小回线的变化特点，必须要清楚不同偏置磁场和不同频率条件下磁滞回线的变化规律。从不同偏置磁场和不同驱动磁场条件下的超磁致伸缩微位移执行器迟滞曲线图［8］，可以看出，在驱动磁场强度相同的条件下，随着偏置磁场的增大，磁滞回曲线的面积逐渐减小，当磁场中心幅值达到饱和时，曲线的面积近乎为零。实际上，磁滞曲线所包含的面积即为磁化过程中能量的损耗。因而，随着磁场中心幅值的增大，磁滞损耗是逐渐减小的。当无偏置磁场，即磁场中心幅值为零时，在中低频阶段，磁滞损耗随着驱动磁场的增加几乎呈线性增加，但是在高频阶段，则有显著减缓的趋势［8］。据此，可以假设，找到一个可以有效反应磁滞损耗变化规律的函数来模拟磁滞环的变化趋势，这样便可以对不饱和小回线进行修订。从文献8中可以看出，不同驱动磁场强度下的磁滞环加磁阶段曲线和饱和时加磁阶段曲线是重合的，退磁阶段的曲线也几乎完全重合。因此，可以用两条样条曲线来分别拟合饱和磁场强度下磁滞环的加磁曲线和退磁曲线的快速变化部分。对于变化缓慢部分，可以看作是水平的，水平间距为两条样条曲线之间的距离。此外，用另一条样条曲线去拟合不同驱动磁场下超磁致伸缩微位移执行器迟滞回线中心磁场幅值的变化。对于不同驱动磁场的小回线，只需知道中心磁场的幅值，然后代入相应的样条曲线中，便可得到相应的磁致伸缩量。然后再结合加磁和退磁部分的样条曲线，便可用积分得出不同驱动磁场下小回线的面积。由于磁滞回线包含的面积反应了磁滞能量的损耗，该损耗是由钉扎系数K反应出来的，而K是随着小回线面积的增大而增大的，基于此分析，可以将所求的面积取倒数，作为钉扎系数K的修正系数，这样便会消弱钉扎系数的影响。

从磁滞环的加磁上升部分连续随机取一系列点，然后用最小二乘法去拟合，可以得到如下函数:

退磁快速变化部分拟合函数为:

中心磁场幅值变化的拟合函数为:

假设任何小回线的中心磁场的幅值为x0，则可以确定小回线面积的积分区间［0－2f3(x0)］。由此，可以得到任意小回线面积的积分公式:

据此，可以将钉扎系数K修正为:

对不饱和小回线建模时，将修订后的钉扎系数Kn代入主回线模型即可。

2 模型结果验证

为了验证模型修订后的正确性，将模型的仿真结果与实验曲线进行对比。在此，选择Calkins的实验结果［5］作为参考对象。模型的基本参数如表1所示:

表1 基本模型参数

根据小回线的磁场幅值，钉扎系数可以修订为Kn=2432。模型的仿真曲线与试验曲线对比如图1、2所示:

在图1、2中，实线表示修订后的模型小回线，虚线表示Calkins实验小回线。从两图可以看出，修订后的模型小回线和实验小回线近乎完全重合。在实际工程应用中，可以用该修订后的模型来计算超磁致伸缩材料磁化强度的变化。

图1 对称小回线对比分析图

图2 不对称小回线对比分析图

3 结束语

通过对超磁致伸缩材料迟滞小回线变化规律的分析，找出影响小回线变化规律的关键因素为钉扎系数K，对其进行了修订。通过分析可知，小回线的面积随着驱动磁场幅值的增大而增大，实际上小回线所围的面积就是磁滞能量的损耗。基于此分析，找出小回线面积变化的通用表达式，利用该表达式对钉扎系数K进行了修订，并与Calkins实验曲线作了对比。对比表明，修订后的模型完全可以定性和定量反应小回线的变化规律。

［1］曹淑瑛，王博文.超磁致伸缩致动器的磁滞非线性动态模型［J］.中国电机工程学报，2003，23(11):145－149.

［2］Raghunathan A，Melikhov Y，Snyder JE，etal.Theoretical Model of Temperature Dependence of Hysteresis Based on Mean Field Theory［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2010，46(6):1 507 －1 510.

［3］Chwastek K，Szczyglowski J，Wilczynski W.Modelling dynamic hysteresis loops in steel sheets［J］.Compel-the International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering，2009，28(3):603 －612.

［4］Jiles D C.A self consistent generalized model for the calculation of minor loop excursions in the theory of hysteresis［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1992，28(5):2 602 －2 604.

［5］Calkins F T，Smith R C，Flatau A B.Energy-based hysteresis model for magnetostrictive transducers［J］.IEEE Transactions on Magnetics，2000，36(2):429 －439.

［6］Lederer D，Igarashi H，Kost A，etal.On the parameter identification and application of the Jiles-Atherton hysteresis model for numerical modelling of measured characteristics［J］.Magnetics，IEEE Transactions on Magnetics，1999;35(3):1 211 －1 214.

［7］Carpenter K H.A differential equation approach to minor loops in the Jiles-Atherton hysteresis model［J］.IEEE Transactions on Magnetics，1991，27(6):4 404 －4 406.

［8］李明范.基于GMM的低频大功率井下声发生器的应用基础研究［D］.杭州:浙江大学，2006.