基于DSP+Builder线性相位滤波器组格型设计与实现

林桂鹏，熊庆国

（武汉科技大学 湖北 武汉 430081）

随着多速率滤波器组的发展，随机信号的自回归模型、语音信号处理和图像压缩等领域中，对滤波器的要求也越来越高，我们不仅仅要求滤波器组是完全重构的，尤其对线性相位特性也有着严格要求。完全重构是一个非常有用的属性，因为它提供了一种无损信号代表并且它显着简化了误差分析[4]。滤波器组的线性相位特性，以使信号经过处理之后不产生相位失真，尤其是在图像处理等对相位变化敏感的场合。所以线性相位完全重构滤波器组（LPPRFB）在空中预警，电子对抗，超宽带雷达，软件无线电等军用领域也具有广阔的应用前景。因此，线性相位完全重构滤波器组的设计非常有意义。

格型滤波器组提供了一种结构化的设计方法，可以很方便的将线性相位条件加入到这一结构中，设计出具有线性相位的完全重构滤波器组。Lattice结构和离散系统的直接实现形式相比，其最大的优点就是对滤波器系数的量化不敏感。滤波器组的完全重构性可由格形结构保证，即使格形结构中的系数量化也能保证滤波器组的完全重构性[1-4]。

1 格型滤波器组

将具有一个共同输入信号或一个具有共同输出信号的一组滤波器称为滤波器组。格型滤波器的理论基础是多速率。具有线性相位和完全重构特性的多速率滤波器组，称之为线性相位完全重构滤波器组 （Linear Phase Perfect Reconstruction Filter Banks）。数字滤波器是将输入的数字信号通过一定的运算关系变为所需要的输出数字信号，根据数字滤波器冲激响应函数的时域特性，可将数字滤波器分为无限长冲激响应（IIR）滤波器和有限长冲激响应（FIR）滤波器。FIR滤波器的突出特点：1）系统总是稳定的；2）易于实现线形相位；3）可以具有任意的幅度特性性[5-6]。

一个标准的Lattice结构的基本单元如图1所示。将图1的基本单元级联起来，得到一种实现任意长有限冲激响应传输函数的级联Lattice滤波器结构，如图2所示。

图1 FIR系统Lattice结构的基本单元Fig.1 Lattice basic unit of the FIR system

全零点格型结构由M个基本格型组成，每个基本格型有上、下两个输入端和输出端。输入x（n）同时加到第一级的上、下两个输入端，输出y（n）取自最后一级的上输出端。由于该电路只有延时，没有反馈，所以是FIR滤波器。其中，α1，α2，…αN-1，为反射系数。

图2 FIR系统的Lattice结构Fig.2 Lattice structure of the FIR system

滤波器组是多个数字滤波器的集合，有共同的输入或者共同的输出，如果滤波器组的输出x＾[n]是输入x[n]的一个纯粹的时间延迟效果，如，x＾[n]=x[n-L]，L∈Z，那么该滤波器就具有完全重构特性。这也是完全重构最直观最普遍的的定义[4]。如果滤波器组系统的抽样响应满足 h（n）=±h（N-1-n），则滤波器具有线性相位特性[1]。

图3所示为最大限度锐减的通道滤波器组的分析滤波器组 Hi（z），综合滤波器组 Fi（z）以及上采样和下采样操作。 输入信号 x[n]是通过 M 个滤波器 Hi（z）过滤，每一个 Hi（z）只处理自己的频率波段。图4所示为M通道滤波器组的多相结构，其中E（z）和R（z）是Ⅱ型多相位分解矩阵，表示如下：

其中，e（z）=[1 z-1… z-（M-1）]，如果 E（z）是可逆的，综合滤波器多相矩阵R（z）就可以由分析滤波器多相矩阵E（z）的逆得到，则滤波器就可以达到完全重建，得到的滤波器组被称为完全重建滤波器组（PRFB）。 如果满足，E（z-1）TE（z）=I，R（z）=ET（z-1）那么这种滤波器组属于一种特殊的线性相位完全重构滤波器组，称之为仿酉滤波器组（PUFB）。

图3 M通道滤波器组的一般结构Fig.3 Regular structure of M-channel FB

图4 M通道滤波器组的多相结构Fig.4 Polyphase structure of M-channel FB

文中以仿酉滤波器组为例，设计其格型结构。有线性相位的且满足PUFB性能的高阶滤波器组，其Lattice结构如图5所示。

图5中，矩阵：

图5 线性相位完全重构FB分析滤波器组Lattice结构一般形式Fig.5 General form of linear phase perfect reconstruction FB analysis filter Lattice structure

由（5）式可以看出，Lattice 系数 αi+1就是 Hi+1（z）最高项的系数，即

因为 HN-1（z）就是滤波器组中的低通滤波器 H0（z），若 H0（z）已知，那么由（8）式和（9）式可求出所有的 Lattice 系数，即α1，α2，…αN-1。

2 格型滤波器组算法实现

（4）式说明，H0（z）和 H1（z）都具有线性相位，其中 H0（z）的系数偶对称，H1（z）的系数奇对称。

假设图5中的第i-1级是功率互补的，那么对第i+1级，有

由此又可以推导出：

从上面的推导也可以看出，系数αi的改变并不影响每一级的功率互补性质，也不影响系统的功率互补性质，因此αi的量化不会改变系统的功率互补性质，这是Lattice结构的一个突出有点。

由（5）（6）式，有

两通道仿酉系统分析滤波器组的Lattice设计，如给出一组满足要求的 h0（n），h0（n）=｛0.267 8 ，0.471 9，0.375 2，0.021 0，-0.177 9，-0.051 3，0.106 9， 0.047 2，-0.072 3，-0.038 9，0.052 4，0.031 1，-0.039 8，-0.024 3，0.031 1，0.018 7，-0.024 7，-0.015 4，0.021 5，0.016 3，-0.037 0，0.021 0｝， 令长度 N=22，ωp=0.45π，现在利用式子（8）和（9）求出其 Lattice 系数 αi，i=1，2，…，11如表 1 所示。

表1 计算得到lattice系数Tab.1 The lattice coefficient

得到lattice系数，即可得到lattice结构，所求格型结构如图6所示。

图6 两通道仿酉系统分析滤波器组（N=22）的格型结构Fig.6 The lattice structure of the two-channel paraunitary systems analysis filter banks （N=22）

3 格型滤波器组电路仿真实现

DSP Builder是Altera公司推出的一个数字信号处理的系统级开发工具，是DSP系统体系解决方案的一项开创性解决方案。

它在QuaItusⅡFPGA设计环境中集成了MathWork的Matlab和Simulink及DSP开发软件，利用DSP Builder设计软件产生设计文件（.mdl），通过SignalCompile将之转换为相应的硬件描述语言（.vhd），以及用来控制综合和编译的tcl脚本。然后利用QuartusⅡ 工具进行了分析、综合、编译适配，最后下载到FPGA器件中。

图7 仿真模块图Fig.7 Block diagram of simulation

图8 仿真结果图Fig.8 Simulation results

4 实验结果分析

图9 滤波器组的频谱分析Fig.9 Spectrum analysis of the filter banks

5 结束语

Lattice结构其最大的优点就是对滤波器系数的量化不敏感。滤波器组的精确重构性可由格形结构保证，即使格形结构中的系数量化也能保证滤波器组完全重构性。由于这种滤波器组满足功率互补的关系，因而只需极小化各分析滤波器的阻带，就可获得具有良好特性的滤波器组。这一设计方法简化了滤波器组的优化设计，而且极大地推动了多速率滤波器组理论和应用的发展。

DSP Builder作为设计工具能加快进度。当然，在实际应用中，受精度、速度和器件选择方面的影响，可以对其进一步的优化。DSP Builder设计将系统描述和硬件实现有机地融为一体。充分显示了现代电子设计自动化开发的特点与优势。

[1]陶然，张惠云，王越.多抽样率数字信号处理理论及其应用[M].北京：清华大学出版社，2007.

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